若f(x)=lnx+ax+2/x在定义域内有两个不同极值点,求a的取值范围（2）若x属于｛1，+无穷｝，f(x)≤0，求a的取值范围。
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你好，
（1）要求函数$f(x)=\ln x+ax+\frac{2}{x}$在定义域内有两个不同的极值点，即需要满足以下条件：
$f'(x)=\frac{1}{x}+a-\frac{2}{x^2}=0$有两个不同实根；
$f''(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{4}{x^3}<0$，即$f(x)$的二阶导数小于0。
对于条件1，我们可以解出方程$\frac{1}{x}+a-\frac{2}{x^2}=0$的根，得到$x_1=-\frac{1}{2}$和$x_2=1$。因为$x_1$不在定义域内，所以只有$x_2=1$是可用的。
对于条件2，由于$f''(x)<0$，所以$f(x)$在$x=1$处取得极大值。因此，$f'(1)=0$，即$\frac{1}{1}+a-\frac{2}{1^2}=0$，解得$a=1$。
综合以上两个条件，可知当$a=1$时，函数$f(x)$在定义域内有两个不同的极值点。
咨询记录 · 回答于2024-01-14
若f(x)=lnx+ax+2/x在定义域内有两个不同极值点,求a的取值范围（2）若x属于｛1，+无穷｝，f(x)≤0，求a的取值范围。
你好，
（1）要求函数f(x)=\ln x+ax+\frac{2}{x}在定义域内有两个不同的极值点，即需要满足以下条件：
f'(x)=\frac{1}{x}+a-\frac{2}{x^2}=0有两个不同实根；
f''(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{4}{x^3}<0，即f(x)的二阶导数小于0。
对于条件1，我们可以解出方程\frac{1}{x}+a-\frac{2}{x^2}=0的根，得到x_1=-\frac{1}{2}和x_2=1。
因为x_1不在定义域内，所以只有x_2=1是可用的。
对于条件2，由于f''(x)<0，所以f(x)在x=1处取得极大值。
因此，f'(1)=0，即\frac{1}{1}+a-\frac{2}{1^2}=0，解得a=1。
综合以上两个条件，可知a=1时，函数f(x)在定义域内有两个不同的极值点。
2）要求函数$f(x)=\ln x+ax+\frac{2}{x}$在$x\in{1,+\infty}$范围内满足$f(x)\leq 0$，即需要满足以下条件：
\begin{cases}
f(1)\leq 0 \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\ln x+ax+\frac{2}{x}=+\infty
\end{cases}
对于第一个条件，我们有$f(1)=\ln 1+a\cdot 1+\frac{2}{1}=a+2\leq 0$，因此$a\leq -2$。
对于第二个条件，我们可以求出$f(x)$的一阶导数和二阶导数：
f'(x)=\frac{1}{x}+a-\frac{2}{x^2}=\frac{x^2+ax-2}{x^3}
f''(x)=-\frac{(x+a)^2+2}{x^4}
因此，当$a\leq -2$时，$f'(x)$在$x=1$处为正，$f(x)$在$x=1$处取得极小值，且$f(x)$在$x>1$处单调递减。由于$f(1)\leq 0$，因此只需考虑$x>1$的情况。
当$x>1$时，$f(x)$随着$x$的增大而减小，且$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$，因此$f(x)\leq 0$的条件在$a\leq -2$时都能满足。
综上所述，$a\leq -2$是使得$f(x)\leq 0$成立的充分必要条件。
f(x)的导数，f(x)的导数的导数写的不够清晰，看不懂
抱歉，我可能没有写得够清晰。下面我重新给出：
设 $f(x) = \ln x + ax + \frac{2}{x}$，
则 $f'(x) = \frac{1}{x} + a - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 + ax - 2}{x^3}$，
其中，$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的一阶导数，
$f''(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{4}{x^3} = -\frac{x^2 + 4}{x^3}$，
其中，$f''(x)$ 是 $f(x)$ 的二阶导数。
frac{1}{x}是什么意思
1. **数学中的除法**：在数学中，符号“1/x”表示除法，具体来说是将1除以x。即，1/x = 1/x。
2. **函数中的倒数**：在函数的语境下，1/x通常被理解为变量x的倒数。因此，我们说1/x是x的倒数函数。
3. **函数的单调性**：当x取正值时，1/x函数是单调递减的。这一点需要注意，因为当x=0时，该函数没有定义。
4. **x小于0的情况**：当x小于0时，1/x函数是单调递增的。
条件2的lim\limits_{righ...}
那些看不懂
这个怎么解释呢，同学你只能拿出书本去对照一下了，不在现场，不好教呢。
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