Question

某控制系统的开环传递函数为G(s+)H(s)=160(2s+1)(s+5)/+s^2(s+4)(s+20)，当输入信号为r（t）=2+3t+ t^2时系统的稳态误差

Answer 1

问：某控制系统的开环传递函数为G(s+)H(s)=160(2s+1)(s+5)/+s^2(s+4)(s+20)，当输入信号为r（t）=2+3t+ t^2时系统的稳态误差

答：在输入信号为单位阶跃函数时，该系统的稳态误差为0.0067。在输入信号为单位斜坡函数时，该系统的稳态误差为0。 根据稳态误差的定义，系统的稳态误差可通过求取单位阶跃函数或者单位斜坡函数的稳态值来获得。 假设该系统的开环传递函数为G(s)H(s)，则其闭环传递函数为： G(s)T(s) = --------------------- 1 + G(s)H(s) 因此，系统的稳态误差可以表示为： e_ss = lim_{t->∞} [r(t) - y(t)] 其中，r(t)为输入信号，y(t)为输出信号。 对于单位阶跃输入和单位斜坡输入，它们的Laplace变换分别为： R(s) = 1/s R(s) = 1/s^2 因此，对于该系统，当输入信号为单位阶跃函数时，有： E_ss = 1 / [1 + lim_{s->0} G(s)H(s)] = 1 / [1 + G(0)H(0)] = 1 / [1 + (1605/4)(1/20)] = 0.0067 当输入信号为单位斜坡函数时，有： E_ss = lim_{s->0} s * G(s)H(s) / [1 + G(s)H(s)] * R(s) = lim_{s->0} s * G(s)H(s) / [1 + G(s)H(s)] * 1/s^2 = lim_{s->0} G(s)H(s) / s = lim_{s->0} 160*(2s+1)*(s+5)/(s^2*(s+4)*(s+20)) / s = 0 因此，在输入信号为单位阶跃函数时，该系统的稳态误差为0.0067，在输入信号为单位斜坡函数时，该系统的稳态误差为0。

问：输入信号

问：是r（t）=2+3t+ t^2

问：化简上面这个

答：根据输入信号 $r(t) = 2 + 3t + t^2$，可以求得其 Laplace 变换 $R(s)$ 如下： $R(s) = L\{r(t)\} = L\{2\} + L\{3t\} + L\{t^2\} = \frac{2}{s} + \frac{3}{s^2} + \frac{2!}{s^3}$ 因此，该控制系统的输入信号的 Laplace 变换为： $R(s) = \frac{2}{s} + \frac{3}{s^2} + \frac{2!}{s^3}$ 接下来，可以通过计算闭环传递函数以及稳态误差来分析控制系统对该输入信号的响应。具体步骤如下： 1. 计算闭环传递函数 $T(s)$ 根据题目中给出的开环传递函数 $G(s)H(s)$，有： $G(s)H(s) = 160(2s+1)(s+5)/(s^2(s+4)(s+20))$ $\Rightarrow T(s) = G(s) / [1 + G(s)H(s)] = 160(2s+1)(s+5) / (s^3 + 9s^2 + 20s + 800)$ 2. 求取稳态误差 由于输入信号是一个二次多项式，我们可以将其视为一个单位斜坡输入信号的积分形式。因此，根据单位斜坡输入的稳态误差公式，有： $E_{ss} = \lim_{s \to 0} s * G(s)H(s) / [1 + G(s)H(s)] * R(s) = \lim_{s \to 0} T(s) * s * R(s)$ 将 $R(s)$ 和 $T(s)$ 带入上式，有： $E_{ss} = \lim_{s \to 0} [\frac{160(2s+1)(s+5)}{(s^3 + 9s^2 + 20s + 800)}] * s * [\frac{2}{s} + \frac{3}{s^2} + \frac{2!}{s^3}] = 33.125$ 因此，该控制系统对于输入信号 $r(t) = 2 + 3t + t^2$ 的稳态误差为 $33.125$。