Question

若AB均为n阶实对称方阵,且n>2.证明:+B^3AB^3+定当且仅当A为正定矩阵,B为可逆+

Answer 1

问：若AB均为n阶实对称方阵,且n>2.证明:+B^3AB^3+定当且仅当A为正定矩阵,B为可逆+

答：亲亲~您好，很高兴为您服务~首先，如果$A$为正定矩阵，则有$A\vec{x} \cdot \vec{x} > 0$，其中$\vec{x}$为非零向量，显然有$B^3\vec{x} \cdot B^3\vec{x} > 0$，即$B^3AB^3$为正定矩阵。同时，如果$B$为可逆矩阵，则$B^3$也为可逆矩阵。因此，我们只需要证明$B^3AB^3$为正定矩阵，则$A$为正定矩阵，$B$为可逆矩阵即可。假设$B^3AB^3$为正定矩阵，则对于任意非零向量$\vec{x}$，有$\vec{x}^T B^3AB^3 \vec{x} > 0$。

答：因为$B$为$n$阶实对称方阵，所以存在正交矩阵$Q$使得$B=Q\Lambda Q^T$，其中$\Lambda$为对角矩阵，即$B=Q\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} Q^T$。于是可以将$\vec{x}$表示为$Q$的第$i$个列向量的线性组合，即$\vec{x}=c_1 q_1 + c_2 q_2 + \cdots + c_nq_n$，其中$q_i$为$Q$的第$i$个列向量，$c_i$为常数。则有：$$\begin{aligned} 0 \vec{x}^T B^3AB^3 \vec{x} &= \left(\sum_{i=1}^n c_iq_i^T \right) \left( Q\begin{pmatrix} \lambda_1^3 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n^3 \end{pmatrix}Q^T \right) \left(\sum_{i=1}^n c_iq_i \right) \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i^3 c_i c_j q_i^T q_j (\text{因为}Q^T Q = I) \\ &= \sum_{i=1}^n \lambda_i^3 c_i^2 > 0 \end{aligned}$$因此$\lambda_i^3 > 0$，故$\lambda_i$有且只有一个符号，由于$B$为实对称矩阵，$B^3$也为实对称矩阵，因此$B^3$的特征值和特征向量与$B$的特征值和特征向量相

问：乱码了

答：题目不全吧

问：答案那些字符看不懂

答：你把题全部发过来啊

答：你的问题不全，这是推测的答案哈

答：看不清，同学你把这个发过来哈，用文字哈

问：若A,B均为n阶实对称方阵,且n>2,证明:B^3AB^3正定当且仅当A为正定矩阵,B为可逆矩阵

答：证明：如果B是满秩矩阵，即可逆矩阵，那么我们可以将B作为一个相似变换的矩阵，使得$B=C^{-1}DC$，其中D是对角矩阵，C是正交矩阵。因此，$B^3=C^{-1}D^3C$，$BAB=C^{-1}DAC$。因为A是一个正定矩阵，所以$u^T A u > 0$对于所有的非零向量u成立。对于矩阵B，如果$B^3AB^3$是正定的，则我们有$x^T B^3AB^3 x > 0$对于所有的非零向量x成立。将$x$替换为$B^2y$，其中$y$是一个非零向量，则：$y^T B^3AB^3 y > 0$$(By)^T A (By) > 0$$y^T (B^T A B)y > 0$因此，矩阵$B^T A B$也是正定的。反之亦然，如果矩阵$B^T A B$是正定的，则$y^T (B^T A B)y > 0$。将$y$替换为$B^{-2}x$，其中$x$是一个非零向量，则：$x^T B^3 AB^3 x > 0$因此，$B^3 A B^3$也是正定的。综上所述，当且仅当矩阵$A$为正定矩阵，矩阵$B$为可逆矩阵时，矩阵$B^3AB^3$才是正定的。