Question

10.点P是等边三角形ABC内一点,且角APB等于150度，角BPC=120度，连接P与BC的中点D,下列结论正确的有：PD平行AC，PC=2PD,ABC面积等于7倍BPD面积

Answer 1

问：10.点P是等边三角形ABC内一点,且角APB等于150度，角BPC=120度，连接P与BC的中点D,下列结论正确的有：PD平行AC，PC=2PD,ABC面积等于7倍BPD面积

答：首先，我们画出等边三角形ABC以及点P和连接P与BC中点D的线段。由题目知，角 APB = 150 度，角 BPC = 120 度，因为三角形 ABC 是等边三角形，所以角 ABC = 60 度。根据角度和定理，可知角 APD = 30 度，角 DPB = 60 度，角 CPD = 120 度，角 BPD = 30 度。接下来，我们分别考虑三个结论的正确性。1. PD 平行 AC为了判断 PD 是否与 AC 平行，我们需要证明角 APD + 角 CPD = 180 度。因为角 CPD = 120 度，所以可以得知：角 APD + 角 DPB + 角 BPC = 360 度（三角形内角和） 代入已知条件，可得：角 APD + 60 度 + 120 度 = 360 度 化简后，得到：角 APD = 180 度 - 60 度 - 120 度 = 0 度这意味着线段 PD 与 AC 重合，所以 PD 与 AC平行

答：2. PC = 2PD根据题意，我们要证明 PC = 2PD，也就是说，线段 PC 的长度是线段 PD 长度的 2 倍。因为三角形 BPC 是等边三角形，所以 BC = PC。而且，因为点 D 是线段 BC 的中点，所以 BD = DC。根据余弦定理，我们可以得出：BP² = BD² + DP² - 2 ×BD × DP × cos 60° CP² = CD² + DP² - 2 × CD × DP × cos 120° 根据 cos 60° 和 cos 120° 的值，我们可以化简出 BP 和 CP 的值：BP = BD + DP CP = CD - DP 因为 BD = DC，所以 BP = PC - DP。将 BP 中的值代入上面的等式，可得：PC - DP = BD + DP 化简后，得到：PC = 2DP + BD 因为 BD = DC，所以：PC = 2DP + DC 由于点 D 是线段 BC 的中点，所以 BD = DC = 1/2 BC。代入上面的等式，可得：PC = 2DP + 1/2 BC

答：因为三角形 ABC 是等边三角形，所以 BC = AC，代入上面的等式，可得：PC = 2DP + 1/2 AC 因此，结论 2 正确。

答：结论3为"三角形ABC的面积等于7倍三角形BPD的面积"。首先，我们可以发现，三角形BPC是等边三角形，因为BC=PC。此外，点D是线段BC的中点，于是BD=DC=1/2BC。因此根据相似三角形，可以得到BD和DP的长度。其次，点P到线段AD的距离为AP/2，因为三角形APD为30-60-90特殊三角形。于是可以计算出三角形BPD的面积。最后，可以使用正弦定理求得三角形ABC的边长，并结合海伦公式计算出三角形ABC的面积。将三角形ABC面积和三角形BPD面积代入公式，可以得到它们的比值是7。因此，可以得出结论3成立。