Question

a+2b+3c=1,求ab+bc+ca的最大值

Answer 1

问：a+2b+3c=1,求ab+bc+ca的最大值

答：ab+bc+ca的最大值可以通过一些数学方法来求解。首先，我们可以将ab+bc+ca进行变形，得到ab+bc+ca=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)。然后，我们将a+2b+3c=1代入到(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)中，得到(ab+bc+ca)的表达式为：ab+bc+ca=(1-2b-3c)^2-(a^2+b^2+c^2)我们需要找到ab+bc+ca的最大值，即求该表达式的最小值。由于(a+b+c)^2是一个平方项，它的取值范围是非负的，所以我们只需要关注-(a^2+b^2+c^2)这一项。为了使-(a^2+b^2+c^2)取到最小值，我们需要将a^2+b^2+c^2尽可能地大，即a、b、c尽可能地接近0。ab+bc+ca的最大值为(1-2b-3c)^2，当且仅当a=0、b=0、c=0时取得最大值哦。

答：这个问题可以进一步推广到更一般的情况。假设有n个变量x1、x2、...、xn，以及n个对应的系数a1、a2、...、an，满足a1+a2+...+an=1。我们需要求解x1x2+x2x3+...+xn-1xn的最大值。根据类似的推理，我们可以将x1x2+x2x3+...+xn-1xn进行变形，得到x1x2+x2x3+...+xn-1xn=(x1+x2+x3+...+xn)^2-(x1^2+x2^2+...+xn^2)。然后，将a1+a2+...+an=1代入到(x1+x2+x3+...+xn)^2-(x1^2+x2^2+...+xn^2)中，得到(x1x2+x2x3+...+xn-1xn)的表达式为：(x1x2+x2x3+...+xn-1xn)=(1-a1x1-a2x2-...-anxn)^2-(a1x1^2+a2x2^2+...+anxn^2)因此，x1x2+x2x3+...+xn-1xn的最大值为(1-a1x1-a2x2-...-anxn)^2，当且仅当x1=x2=...=xn=0时取得最大值哦。