Question

1. 若 f(z)=1/(z(z-1)) 则 Res(f,1)=()

Answer 1

问：1. 若 f(z)=1/(z(z-1)) 则 Res(f,1)=()

答：你好，根据复变函数的留数定理，要是 f(z) 在 z=a 处有一个孤立奇点，那样 Res(f,a) 就等于 f(z) 关于 z=a 的 Laurent 级数展氏李开式中的主部系数。对于给定的 f(z)=1/(z(z-1))，我们可念铅以将其进行部分分式分解得到 f(z)=1/z - 1/(z-1)。于是，当 a=1 时歼高迟，f(z) 的主部系数就是 -1。所以 Res(f,1)=-1。

答：亲亲 该问题涉及到留数的计算，其中 Res(f,a) 表示函数 f(z) 在 z=a 处的留数。留数在复变函数中具有重要的应用，特别是在积分计算和求解特殊函数值方面。留数定理告诉我们，要橘扮是函数 f(z) 在某个点 a 处有孤立奇点，那样沿着一个简单闭合曲线 C 的积分 ∮C f(z)dz 等于沿着这个简单闭合曲线内包围孤立奇点 a 的区域上 f(z) 的留数之和。对于给定的 f(z)=1/(z(z-1))，我们可以看到它在 z=0 和 z=1 处都有孤立奇点。通过部分分式分解，我们可以将 f(z) 写成两个简单分式的和，即 f(z)=1/z - 1/(z-1)。这样，我们就可以计算出 f(z) 在 z=0 和 z=1 处的留数。在本题中，我们需要计算 Res(f,1)。根据留数的定义，对于一个函数 f(z)，当 z=a 是一个一阶极点时，其留数 Res(f,a) 等于 f(z) 在 z=a 处的极限值，也就是 f(z) 关于 z=a 的 Laurent 级数展开式中的主部系数。于是，我们将 f(z) 展开为 Laurent 级数后，找到主部系数即可得到 Res(f,1) 的值。通过部分分式分解，我们有并伍圆 f(z)=1/z - 1/(z-1)，其中 1/z 的 Laurent 级数展开式为 1/z + 0 + 0 + ...，而 1/(z-1) 的 Laurent 级数展开式为 -1 + 1/(z-1) + 1/(z-1)^2 + ...。于是绝塌，f(z) 的 Laurent 级数展开式为 (1/z + 0 + 0 + ...) - (-1 + 1/(z-1) + 1/(z-1)^2 + ...)。从展开式中可以看出，主部系数为 -1，即 Res(f,1)=-1。

问：没有这个选项

答：你好！亲亲 根据复变函数的留数定理，对于一银雀个函数f(z)，要是在某个点a处有解析性除去孤立奇点，那样该点的留数Res(f,a)可以通过以下公式茄搏消计算得出：Res(f,a) = lim[z→a] [(z-a)f(z)]现在给定函数f(z) = 1/(z(z-1))，我们希望计算在z=1处的留数。代入颤知公式，我们有：Res(f,1) = lim[z→1] [(z-1) * 1/(z(z-1))]由于(z-1)和(z(z-1))都在z=1处无穷小，我们可以简化上式：Res(f,1) = lim[z→1] [1/z]当z趋近于1时，1/z趋近于1/1=1。于是，在z=1处的留数为1。

问：选1

答：亲亲是的呢

问：好的，谢谢了！

问：可以帮做第二个吗？

答：亲亲 可以的·您编辑好发过来图片这里查看不了

问：若 f(z)=1/z ，则Res(f,0)+Res(f,∞)=().

答：你好！亲亲 根据复变函数的留数带慧定理，要是 f(z) 在点 z=a 处有一个孤立奇点，则 Res(f,a) 表示 f(z) 在点 z=a 处的留数。对于函数 f(z) = 1/z，它在原点 z=0 处有一个孤立奇点，于是我们可以计算出 Res(f,0)。由于 f(z) 是一个亚纯函数（在除了原点外处处解析），所以它在无穷远处也有一个孤立奇点。为了计算 Res(f,∞)，桥行我们需要进行变量替换 z = 1/w，并将 f(z) 转化为 g(w) = f(1/w)。这样，我们可以看到当 w 趋近于 0 时，g(w) 的表达式变为 g(w) = w。于是，Res(f,∞) = Res(g,0) = 0。综上所述，蠢消答Res(f,0) + Res(f,∞) = Res(f,0) + Res(g,0) = Res(f,0) + 0 = Res(f,0)。