Question

有一道初一的题目希望大家帮我看一看！

当m和n为何值时，x的平方-5x+6是x的四次方-3x三次方+5x四次方+mx+n的因式？并分解因式。（请写过程）要利用初一的知识。

Answer 1

因为x^4的系数为1，所以设x^4-3x³+5x²+mx+n的两个因式为x²-5x+6和x²+ax+b
即x^4-3x³+5x²+mx+n=（x²-5x+6)(x²+ax+b）
=x^4+(a-5)x³+(b-5a+6)x²+(6a-5b)x+6b，比较两边系数，

即a-5=-3
b-5a+6=5
所以a=2，b=9

又6a-5b=m，6b=n
所以m=-33，n=54

Answer 2

x²-5x+6=(x-2)(x-3)，
因此x^4-3x³+5x²+mx+n有因式(x-2)和(x-3)。当x=2或x=3时该式值为0。
故可列方程
16-3*8+5*4+2m+n=0
81-3*27+5*9+3m+n=0
解得m=-33，n=54
x^4-3x³+5x²-33x+54
=(x^4-3x³)+(5x²-15x)-(18x-54)
=(x-3)(x³+5x-18)
=(x-3)[(x³-2x²)+(2x²-4x)+(9x-18)]
=(x-3)(x-2)(x²+2x+9)

Answer 3

x²-5x+6=(x-2)(x-3)，
因此x^4-3x³+5x²+mx+n有因式(x-2)和(x-3)。当x=2或x=3时该式值为0。
故可列方程
16-3*8+5*4+2m+n=0
81-3*27+5*9+3m+n=0
解得m=-33，n=54
x^4-3x³+5x²-33x+54
=(x^4-3x³)+(5x²-15x)-(18x-54)
=(x-3)(x³+5x-18)
=(x-3)[(x³-2x²)+(2x²-4x)+(9x-18)]
=(x-3)(x-2)(x²+2x+9)

Answer 4

m=-75
n=162