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高一 函数 急急急急!!!
已知函数f(x)=3的x的绝对值次方—3的-x次方。(1)若f(x)=4,求x的值;(2)若3的t次方×f(2t)+m×f(t)≥0对于t属于[1,2]恒成立,求实数m的...
已知函数f(x)=3的x的绝对值次方—3的-x次方。
(1)若f(x)=4,求x的值;
(2)若3的t次方×f(2t)+m×f(t)≥0对于t属于[1,2]恒成立,求实数m的取值范围。
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(1)若f(x)=4,求x的值;
(2)若3的t次方×f(2t)+m×f(t)≥0对于t属于[1,2]恒成立,求实数m的取值范围。
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f(x) = 3^|x| - 3^(-x)
1)分类讨论:
a)x<0,则f(x) = 3^(-x) - 3^(-x)=0 ,而题意f(x)=4 则无解
b)x≥0, f(x) = 3^x - 3^(-x)=4,(3^x)^2 - 4(3^x) -1=0,解得 3^x = 2±√5
因为x≥0,则3^x>0, ∴ 3^x= 2+√5,即x=log₃(2+√5)
2)t∊[1,2],
(3^t)* f(2t)+m* f(t)
= (3^t)*[3^(2t) - 3^(-2t)]+m* [3^(t) - 3^(-t)]
=(3^t)* [3^(t) - 3^(-t)]* [3^(t)+3^(-t)] + m* [3^(t) - 3^(-t)]
=[3^(t) - 3^(-t)] * [3^(2t)+1+m]≥0
∵ t∊[1,2],则3^(t) >3^(-t),即3^(t) - 3^(-t)>0
∴ 3^(2t)+1+m ≥ 0
∴ m ≥ - 3^(2t) -1≥ -3^(2*1)-1= -10 即当t=1是- 3^(2t) -1取最大值
即 m ≥ -10
1)分类讨论:
a)x<0,则f(x) = 3^(-x) - 3^(-x)=0 ,而题意f(x)=4 则无解
b)x≥0, f(x) = 3^x - 3^(-x)=4,(3^x)^2 - 4(3^x) -1=0,解得 3^x = 2±√5
因为x≥0,则3^x>0, ∴ 3^x= 2+√5,即x=log₃(2+√5)
2)t∊[1,2],
(3^t)* f(2t)+m* f(t)
= (3^t)*[3^(2t) - 3^(-2t)]+m* [3^(t) - 3^(-t)]
=(3^t)* [3^(t) - 3^(-t)]* [3^(t)+3^(-t)] + m* [3^(t) - 3^(-t)]
=[3^(t) - 3^(-t)] * [3^(2t)+1+m]≥0
∵ t∊[1,2],则3^(t) >3^(-t),即3^(t) - 3^(-t)>0
∴ 3^(2t)+1+m ≥ 0
∴ m ≥ - 3^(2t) -1≥ -3^(2*1)-1= -10 即当t=1是- 3^(2t) -1取最大值
即 m ≥ -10
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