Question

正弦定理sinA/a=sinB/b=sinC/c=2R是怎么证明的

Answer 1

问：正弦定理sinA/a=sinB/b=sinC/c=2R是怎么证明的

答：# 正弦定理 ## 定义 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 即：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍） ## 证明方法1 在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H。 CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC ## 证明方法2 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC，作ABC的外接圆O。作直径BD交⊙O于D。连接DA。 因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度。 因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C。 所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R。 类似可证其余两个等式。 ## 证明方法3 记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB、BC、CA为向量a、b、c。∴a+b+c=0。 则i（a+b+c）=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0。 接着得到正弦定理"