Question

设E是曲面z=√(x^2+y^2)与平面z=3所围立体的整个表面的外侧， 则 ∯ Σxdydz +ydzdx + zdxdy= (

Answer 1

问：设E是曲面z=√(x^2+y^2)与平面z=3所围立体的整个表面的外侧， 则 ∯ Σxdydz + ydzdx + zdxdy= (

答：直接算：Σ是圆台表面的外侧，上底面圆心为（0，0，2），半径为2；下底面圆心为（0，0，1），半径为1；高为1；在xOy面用柱面坐标：上底面积分（z=2，朝上，正）=∫(0,2π)dθ∫(0,2)e^2/r·rdr=4πe^2下底面积分（z=1，朝下，负）=-∫(0,2π)dθ∫(0,1)e/r·rdr=-2πe侧面积分（z=r，朝下，负）=-∫(0,2π)dθ∫(1,2)e^r/r·rdr=-2π(e^2-e)三个面的积分加在一起=2πe^2