三个数的均值不等式推导
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a+b+c=(3∧√a)^3+(3∧√b)^3+(3∧√c)^3≥3(3∧√a)(3∧√b)(3∧√c), 即:a+b+c≥3*3∧√abc
先证两个数的情形:
(a+b)/2≥√(ab).
(1) (√a-√b)^2≥0(显然成立)
再证四个数的情形:
(a+b+c+d)/4≥(abcd)^(1/4)
(2) 反复应用(1)得(a+b+c+d)/4=[(a+b)/2+(c+d)/2]/2≥(√(ab)+√(cd))/2≥√[√(ab)√(cd)]=(abcd)^(1/4).
最后证三个数的情形:
(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3).在(2)中取d=(a+b+c)/3,得(a+b+c+(a+b+c)/3)/4≥(abc(a+b+c)/3d)^(1/4) ,即(a+b+c)/3≥(abc(a+b+c)/3d)^(1/4),两边4次方,并约去(a+b+c)/3得[(a+b+c)/3]^3≥abc,两边开立方,得(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
咨询记录 · 回答于2023-12-23
三个数的均值不等式推导
**不等式：**
a+b+c=(3∧√a)^3+(3∧√b)^3+(3∧√c)^3≥3(3∧√a)(3∧√b)(3∧√c)
即：a+b+c≥3*3∧√abc
**先证两个数的情形：**
(a+b)/2≥√(ab) (1)
(√a-√b)^2≥0 (显然成立)
**再证四个数的情形：**
(a+b+c+d)/4≥(abcd)^(1/4) (2)
反复应用(1)得：
(a+b+c+d)/4=[(a+b)/2+(c+d)/2]/2≥(√(ab)+√(cd))/2≥√[√(ab)√(cd)]=(abcd)^(1/4)
**最后证三个数的情形：**
(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
在(2)中取d=(a+b+c)/3，得：
(a+b+c+(a+b+c)/3)/4≥(abc(a+b+c)/3d)^(1/4)
即：(a+b+c)/3≥(abc(a+b+c)/3d)^(1/4)
两边4次方，并约去(a+b+c)/3得：
[(a+b+c)/3]^3≥abc
两边开立方，得：(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
拉格朗日
拉格朗日公式是：拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为：微积分中的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；群论中的拉格朗日定理(群论)。
流体力学中的拉格朗日定理（Lagrange theorem）
由开尔文定理可直接推论得到拉格朗日定理（Lagrange theorem），即漩涡不生不灭定理。
正压理想流体在质量力有势的情况下，如果初始时刻某部分流体内无涡，则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为无涡。反之，若初始时刻该部分流体有涡，则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为有涡。
描述流体运动的两种方法之一是拉格朗日法。拉格朗日法以单个流体质点的运动过程为基础，综合所有质点的运动，构成整个流体的运动。它以起始时刻每个质点的坐标位置（a、b、c）作为该质点的标志。在任何时刻，任意质点在空间的位置（x、y、z）都可以被视为是（a、b、c）和t的函数。
泰勒公式
泰勒公式如下：
泰勒（Tayloy）公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要工具。然而，大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能很精确地表达函数和进行近似计算，因此遇到一些要求精确度高而且需要估算误差的情况时，就必须使用高次多项式来近似表达函数，同时给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析里面一个重要的部分，因此在数学里面有很高的地位。
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