Question

求微分方程cosxsinydx+sinxcosydy=0的通解

Answer 1

问：求微分方程cosxsinydx+sinxcosydy=0的通解

答：设 $M=\cos x\sin y,\ N=\sin x\cos y$，则$$\frac{\partial M}{\partial y}=\cos x\cos y, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=\cos x\cos y.$$因此，该微分方程是恰当的，且存在一个势函数 $u(x,y)$，满足 $\frac{\partial u}{\partial x}=M,\ \frac{\partial u}{\partial y}=N$。因此，我们有：$$u(x,y)=\int Mdx+C_1(y)=\int \cos x\sin ydx+C_1(y)=\sin x\sin y+C_1(y),$$和$$u(x,y)=\int Ndy+C_2(x)=\int \sin x\cos y dy+C_2(x)=-\cos x\cos y+C_2(x).$$将 $u(x,y)$ 代入 $\frac{\partial u}{\partial y}=N$，可得：$$\frac{\partial}{\partial y}(\sin x\sin

问：lnsiny+lnsinx=C1怎么推导出后面sinxsiny=C

答：亲您好！将原微分方程改写为：cosx sin y dx = -sinx cos y dy两边同时积分：∫cosx sin y dx = -∫sinx cos y dy将两边的积分式分别用三角函数公式代替：∫sin x cos y dx = 1/2 sin (x+y) + C1-∫cos x sin y dy = -1/2 cos (x+y) + C2其中C1、C2为常数。最终通解为：1/2 sin (x+y) - 1/2 cos (x+y) = C其中C为常数。

答：亲您好！首先，将lnsiny+lnsinx表示成ln(sinx*siny)的形式，即：ln(sinx*siny)=C1。然后，应用指数函数与对数函数的互逆关系，得到：sinx*siny=e^(C1)。接着，我们要利用三角函数的基本关系sin^2x+cos^2x=1，将sinx和siny进行联想，得到：sinx*siny=(sinx)*(sin(pi/2-y))=sinx*cosy因此，我们有：sinx*cosy=e^(C1)。继续联想三角函数的基本关系，得到：sinx*siny=sin(x+y)-sinx*cosy再带入上式，得到：sin(x+y)-sinx*cosy=e^(C1)化简得到：sin(x+y)=e^(C1)+sinx*cosy

答：接着，继续联想三角函数的基本关系sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，得到：sinx*cosy+cosxsiny=e^(C1)+sinx*cosy化简得到：cosxsiny=e^(C1)因此，可以得到sinx*siny=sin(x+y)-sinx*cosy=e^(C1)-e^(C1)