Question

设V是数域P上n维线性空间,t是V的一个线性变换,t的特征多项式为f（a）.证明：f（a）在p上不可约的充要条件是V无关于t的非平凡不变子空间.

Answer 1

问：设V是数域P上n维线性空间,t是V的一个线性变换,t的特征多项式为f（a）.证明：f（a）在p上不可约的充要条件是V无关于t的非平凡不变子空间.

问：原问题是证明如果没有非平凡子空间那极小多项式就不可约

答：充分性证明： 假设f(a)在P上不可约，那么f(a)无法分解为两个次数较小的多项式的乘积。假设V有一个关于t的非平凡不变子空间U，则存在一个非零向量v∈U，使得t(v)∈U。因为U是t的不变子空间，所以f(t)(v)∈U。根据cayley-hamilton定理和特征多项式的定义，有f(t)(t(v))=0，即f(t)(t(v))是零向量。因此，我们有f(t)(x)除以f(a)得到g(a)余数为0，其中x=t(v)，因为f(t)(x)=0。因此，f(t)(a)被f(a)整除。但是，根据假设，f(a)是不可约的，因此，只有两种可能：f(t)(a)=0或f(t)(a)=f(a)。在第一种情况下，我们得到了一个非平凡的零子空间，这与我们的假设矛盾。在第二种情况下，我们得到了一个非平凡的V的不变子空间，这也与我们的假设矛盾。因此，充分性得证。必要性证明： 假设V没有关于t的非平庸不变子空间。我们想证明特征多项式f(a)在P上不可约。为此，我们假设f(a)可以分解为两个次数较小的多项式的乘积：f(a)=g(a)h(a)，其中1≤deg(g),deg(h)

答：其中1≤deg(g),deg(h)

问：生成子空间那里没懂

答：亲亲，可以参考一下哦。证设S是线性空间V的任一非平凡子空间，e，…，e是S的一组基(r>1)，将它扩充为V的一组基e，…，er，er+，…，e。(n>r)。令T=L(e+，…，e)，则V=S+T，所以T是S的一个补子空间。令T=L(e+er+i，e+…，e.)，显然el，…，er，e:+er+1，e.+2,…，e。也是V的一组基，于是V=S+T:,T也是S的一个补子空间。因为e:+e+1CT(否则，e:+e++!可由er，…，e线性表示，这样ej，er+1，…，e线性相关，此与e，er，…，e线性无关矛盾)，所以T+T，故S的补子空间不唯一。