Question

t (x²-t²)dt在0到x的积分

Answer 1

问：t (x²-t²)dt在0到x的积分

答：首先，我们需要对 t(x²-t²) 进行一些变形：t(x²-t²) = tx² - t³接下来，我们对上式求不定积分：∫(tx² - t³)dt = 1/2tx² - 1/4t⁴ + C其中，C 是常数项。将上述结果带入原式，并进行积分上下限的代入：∫[0,x] t(x²-t²)dt= [(1/2xt² - 1/4t⁴) from 0 to x]= 1/2x³ - 1/4x⁴因此，t(x²-t²) 在 0 到 x 的积分为 1/2x³ - 1/4x⁴。

问：为什么这里是四次方

答：非常抱歉，我犯了一个错误。在上一个回答中，我误将原题中的 "t" 理解为一个常数，导致最后的积分结果错误。正确的处理方法如下：我们需要对 t(x²-t²) 进行一些变形：t(x²-t²) = tx² - t³接下来，我们对上式进行积分：∫ t(x²-t²) dt = 1/3 t³(x²-t²) - 1/5 t^5 + C其中，C 是常数项。将上述结果带入原式，并进行积分上下限的代入：∫[0,x] t(x²-t²)dt= [1/3 t³(x²-t²) - 1/5 t^5] from 0 to x= 1/3 x³(x²-x²) - 1/5 x^5 + 0= -1/5 x^5因此，t(x²-t²) 在 0 到 x 的积分为 -1/5 x^5

问：那算一下t (t²-x²）dt在x到1的积分

答：首先，我们可以将被积函数t(t² - x²)展开得到：t(t² - x²) = t³ - tx²然后，我们可以通过不定积分来求出原函数，即：∫(t³ - tx²) dt = 1/4 t⁴ - 1/3 x t³ + C其中，C为积分常数。接下来，我们可以计算x到1的定积分，即：∫[x,1] (t² - x²) t dt = [(1/4)t⁴ - (1/3)xt³] [x,1]将上限和下限代入，得到：[(1/4)(1)⁴ - (1/3)x(1)³] - [(1/4)x⁴ - (1/3)x³]化简后，得到：1/12 - 1/4x⁴因此，t(t² - x²) dt在x到1的积分为1/12 - 1/4x⁴。