Question

2.计算+1=fxydv+其中是由曲面+y=x;+y=2x;+z=0;+z=4-y^2-|||-所围成的闭区域.

Answer 1

问：2.计算+1=fxydv+其中是由曲面+y=x;+y=2x;+z=0;+z=4-y^2-|||-所围成的闭区域.

答：您好，亲，根据您的问题描述:首先要确定曲面和平面的交点，可以通过将曲面和平面的方程联立解得:y=xy=2xz=0z=4-y^2-|||将第一个和第二个方程联立可得x=0，y=0，这是原点处的一个交点；将第一个和第三个方程联立可得(x,y,z)=(t,t,0)，将这个点代入第四个方程可得：t^2+|||≤4-t^2即 |||≤(4-2t^2)^(1/2)此时还需确定t的取值范围。将第二个和第三个方程联立可得(x,y,z)=(t,2t,0)，将这个点代入第四个方程可得：4t^2+|||≤4-4t^2即 |||≤(4-8t^2)^(1/2)综合可得 |||≤(4-2t^2)^(1/2)且 |||≤(4-8t^2)^(1/2)因为|||的取值范围是非负数，所以必有：0≤|||≤min{(4-2t^2)^(1/2),(4-8t^2)^(1/2)}现在可以写出积分式：∫∫∫ f(x,y,z) dV = ∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz其中，积分区域是所给出区域，即：x, y, z 的取值范围为：- (4-2t^2)^(1/2)≤|||≤(4-2t^2)^(1/2)- (4-2t^2)^(1/2)≤|||≤(4-8t^2)^(1/2)- t≤x≤(4-2t^2)^(1/2)- t≤y≤2t- 0≤z≤4-y^2-|||最终结果：+1=f(x,y,z)dV=∫[0,1]∫[t,2t]∫[-(4-2t^2)^(1/2),(4-2t^2)^(1/2)] f(x,y,z) dxdydz