Question

( 二 ) 设二维随机 变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) = 2 y, 0 ≤y≤x＜1, 其他情况都为0} 求 1 二维随机 变量 ( X , Y ) 的期望 E ( X ) 的值 ; 2 二维随机 变量 ( X , Y ) 的方差 E ( Y )

Answer 1

问：( 二 ) 设二维随机 变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) = 2 y , 0 ≤y≤x＜1, 其他情况都为0} 求 1 二维随机 变量 ( X , Y ) 的期望 E ( X ) 的值 ; 2 二维随机 变量 ( X , Y ) 的方差 E ( Y )

答：1. E(X) = ∫∫xf(x,y)dxdy，根据题目的条件可以得到：0 ≤ y ≤ x ＜ 1，所以：E(X) = ∫∫x * 2y dxdy = ∫0^1 ∫y^1 x * 2y dxdy = 2/3于是，二维随机变量(X,Y)的期望E(X) = 2/3。2. E(Y) = ∫∫yf(x,y)dxdy，同样根据题目的条件可以得到：E(Y) = ∫∫y * 2y dxdy = ∫0^1 ∫y^1 y * 2y dxdy = 1/4于是，二维随机变量(X,Y)的方差E(Y) = 1/4。：概率密度函数是对一个随机变量的概率分布进行描述。在这个问题中，概率密度函数f(x,y)描述了两个随机变量X和Y的联合概率分布。我们可以通过计算期望和方差来进一步了解这个联合分布的性质。期望告诉我们一个随机变量在平均意义下的取值大小，而方差则告诉我们这个随机变量的取值在平均值附近的离散程度。在实际应用中，期望和方差是非常重要的统计量，它们可以帮助我们更好地理解随机变量的性质，并为后续的建模和分析提供基础。