Question

f(x)＝x²＋16/x，求x的单调性

Answer 1

问：f(x)＝x²＋16/x，求x的单调性

答：亲，您好~f(x)＝x²＋16/x，求x的单调性我们需要求出f(x)在定义域内的单调性。先求导数：f'(x)=(2x²-16)/x²然后解出f'(x)=0的根：2x²-16=0x²=8x=±√8由于f'(x)只在x=√8和x=-√8处为零，所以这两个点在f(x)的单调性变化处。我们考虑将定义域划分为三个区间：(-∞,-√8)，(-√8,√8)，(√8,+∞)。当x属于第一个区间时：x<-√8x²<82x²<162x²-16<0因此f'(x)<0，即f(x)在此区间单调递增。当x属于第二个区间时：-√882x²>162x²-16>0因此f'(x)>0，即f(x)在此区间单调递减。因此，f(x)在(-∞,-√8)和(√8,+∞)上单调递减，在(-√8,√8)上单调递增。

问：老师我画线的部分解释一下，为什么这么做

答：亲亲，有点乱哎

答：亲，这是由假设令x1=x2=x,由f(x1)-f(x2)的列式求导出来的哦~

问：就是后面那个等式2x－16/ x²＝0看不懂为什么等于0，麻烦老师解释一下

答：亲亲，2x－16/ x²＝0，因为2x－16/ x²是f'(x)，即f(x)的导数，当f'(x)=0时，f(x)的值可能有极值，所以2x－16/ x²＝0。

问：导数没学过 ，老师能不能用单调性解释一下为什么这么做，谢谢

答：对于第二个问题：“为什么 2x - (16/x) = 0”？在这个问题中，我们需要求f(x)的导函数f'(x)的零点，所以我们对f(x)进行求导：f(x) = x² + 16/x、f'(x) = 2x - 16/x²然后我们令f'(x) = 0，解方程得到：2x - 16/x² = 0、2x³ - 16 = 0 （将方程乘以x²）x³ - 8 = 0、(x-2(x²+2x+4) = 0因此，x = 2 或 x² + 2x + 4 = 0。然而，x² + 2x + 4 的判别式 D = b² - 4ac = 4 - 16 < 0，这意味着它没有实根。因此，x = 2 是唯一的解。回到第一个问题：“f(x) = x² + 16/x 的单调性”，我们已经求出了f'(x) 的零点：x = 2。因此，可以将定义域(-∞,2)和(2,+∞)分别作为两个区间进行讨论。当x属于(-∞,2)时，f'(x) 的符号与 2-16/x² 相同，而2-16/x²的值是负的，因此f'(x) 0，也就是说f(x)在这个区间单调递减。当x属于(2, +∞)时，f'(x) 的符号与 2-16/x² 相反，而2-16/x²的值是正的，因此f'(x) > 0，也就是说f(x)在这个区间单调递增。因此，f(x) 在(-∞,2]上单调递减，在[2, +∞)上单调递增。

答：在这个问题中，我们需要求f(x)的导函数f'(x)的零点，所以我们对f(x)进行求导：f(x) = x² + 16/x、f'(x) = 2x - 16/x²然后我们令f'(x) = 0，解方程得到：2x - 16/x² = 02x³ - 16 = 0 （将方程乘以x²）x³ - 8 = 0(x-2)(x²+2x+4) = 0因此，x = 2 或 x² + 2x + 4 = 0。