Question

已知向量组α1=(1,-1,0,5)T,α2=(2,0,1,4)T,α3=(3,1,2,3)T,α4=(4,2,3,a)T,其中a是参数，求该向量组的秩与一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示

Answer 1

问：已知向量组α1=(1,-1,0,5)T,α2=(2,0,1,4)T,α3=(3,1,2,3)T,α4=(4,2,3,a)T,其中a是参数，求该向量组的秩与一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示

答：亲亲，非常荣幸为您解答通过线xing代数的知识，可以使用高斯消元法将向量组化为梯阵形式，并通过消元过程中主元个数计算向量组的秩。将向量组写成矩阵形式后，对其进行初等行变换，可得：1-10520143123423a->1-105021-6001-11000a+32因此，当a不等于-32时，矩阵的秩为4；当a=-32时，矩阵的秩为3。接着，根据梯阵形式可得一个极大线xing无关组为：β1=(1,-1,0,5)T,β2=(0,2,1,-6)T,β3=(0,0,1,-11)T。zui后，将α4用β1、β2、β3之和线xing表示可得：α4=4β1+β2+3β3即：α4=4(1,-1,0,5)T+(0,2,1,-6)T+3(0,0,1,-11)T化简可得：α4=(4,-2,3,-3)T因此，向量组的秩为4或3（取决于a是否等于-32），一个极大线xing无关组为β1、β2、β3，而α4可以用该极大线xing无关组线xing表示为4β1+β2+3β3或(4,-2,3,-3)T。~

答：~~向量组是线xing代数中常见的问题类型，以下是一些解题注意事项：1.向量组的秩能够反映向量组的线xing相关xing和维数等信息，因此在解题时需要确定向量组的秩并进行分析。2.通过初等行变换将向量组化为梯阵形式有助于确定向量组的秩和极大线xing无关组等信息，熟练掌握初等行变换方法是解决向量组问题的关键~