设G是n个点m条边的简单图，m≥n。证明：G中必有回路。
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亲，你好
！为您找寻的答案：可以采用数学归纳法证明。当n=1时，G只有一个点，没有边，显然成立。当n>1时，考虑以下两种情况：G中存在一个度数为1的点v。由于v的度数为1，因此G中存在一条从v出发的边e，连接到另一个点u。由于G是简单图，因此u只能和v相连。此时形成了一个长度为2的回路(v, u)。因此，结论在这种情况下成立。G中不存在度数为1的点。由于每个点的度数都不小于2，因此G必定存在一个环。我们从G中任选一条边e，并将其上的一个端点作为根节点，构建一棵以根节点为根的深度优先搜索树。由于G中不存在度数为1的点，因此这棵搜索树中除了根节点以外的每个节点都有一个父节点。接下来考虑两种情况：边e连接的两个节点不在同一个树枝上。在这种情况下，边e连接的两个节点必定在搜索树的不同树枝上，形成了一个长度至少为3的回路。边e连接的两个节点在同一个树枝上。在这种情况下，边e连接的两个节点形成了一个环。由于G是简单图，这个环必定是长度大于等于3的。因此，结论在这种情况下仍然成立。综上所述，对于任意一个n个点m条边的简单图，都存在回路。
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咨询记录 · 回答于2023-06-10
设G是n个点m条边的简单图，m≥n。证明：G中必有回路。
亲，你好！为您找寻的答案：可以采用数学归纳法证明。当n=1时，G只有一个点，没有边，显然成立。当n>1时，考虑以下两种情况：G中存在一个度数为1的点v。由于v的度数为1，因此G中存在一条从v出发的边e，连接到另一个点u。由于G是简单图，因此u只能和v相连。此时形成了一个长度为2的回路(v, u)。因此，结论在这种情况下成立。G中不存在度数为1的点。由于每个点的度数都不小于2，因此G必定存在一个环。我们从G中任选一条边e，并将其上的一个端点作为根节点，构建一棵以根节点为根的深度优先搜索树。由于G中不存在度数为1的点，因此这棵搜索树中除了根节点以外的每个节点都有一个父节点。接下来考虑两种情况：边e连接的两个节点不在同一个树枝上。在这种情况下，边e连接的两个节点必定在搜索树的不同树枝上，形成了一个长度至少为3的回路。边e连接的两个节点在同一个树枝上。在这种情况下，边e连接的两个节点形成了一个环。由于G是简单图，这个环必定是长度大于等于3的。因此，结论在这种情况下仍然成立。综上所述，对于任意一个n个点m条边的简单图，都存在回路。
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