Question

24:记 ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cos2A-cos2B=8sinBsinCcosA.-|

Answer 1

问：24:记 ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cos2A-cos2B=8sinBsinCcosA.-|

答：首先，根据余弦的平方公式，cos^2A = 1 - sin^2A 和 cos^2B = 1 - sin^2B。将这两个等式代入方程中得到：1 - sin^2A - (1 - sin^2B) = 8sinBsinCcosA简化方程得到 - sin^2A + sin^2B = 8sinBsinCcosA根据（角和角和恒等于角差恒等于角差）公式 sin^2A - sin^2B = sin(A+B)sin(A-B)，将这个公式代入方程中得到：sin(A+B)sin(A-B) = 8sinBsinCcosA然后，根据正弦的性质 sin(A+B) = sinC 和 sin(A-B) = sin(B+C)，将这两个等式代入方程中得到：sinCsin(B+C) = 8sinBsinCcosA再进一步简化得到 sin(B+C) = 8cosA根据正弦的倒数关系 sinθ = 1/cscθ，将该关系代入方程中得到：1/cos(B+C) = 8cosA进一步简化得到 cos(B+C) = 1/8cosA最后，根据余弦和的性质，cos(B+C) = cosBcosC - sinBsinC。将该等式代入方程中得到：cosBcosC - sinBsinC = 1/8cosA综上所述，给定的方程化简为 cosBcosC - sinBsinC = 1/8cosA。