∫+[arcsinx/根号下x(1-x)]+dx
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该积分的求解比较复杂，需要进行一定的换元和分部积分。下面是求解的步骤：
1. 令 $u = \sqrt{x(1-x)}$，则有 $x = \frac{u^2}{1+u^2}$，$dx = \frac{2u}{(1+u^2)^2}du$。
2. 将上述式子代入被积函数中，得到：$\int \arcsin \left( \frac{u^2}{1+u^2} \right) \left( 1 - \frac{u^2}{1+u^2} \right) du = 2\int \arcsin \left( \frac{u^2}{1+u^2} \right) \left( 1 + \frac{u^2}{1+u^2} \right) du$
3. 再令 $v = \arcsin (\frac{u^2}{1+u^2})$，则有 $\sin v = \frac{u^2}{1+u^2}$，$\cos v = \frac{u}{1+u^2}$，$du = \frac{\cos v}{\sqrt{\sin v}}dv$。
4. 将上述式子代入被积函数中，得到：$2\int \cos^2 v \sin v \cos v dv = 2\int (1 - \sin^2 v) \sin v dv$
5. 令 $u = \sqrt{\sin v}$，则有 $v = \arcsin u^2$，$dv = \frac{2u}{\sqrt{1-u^4}}du$。
6. 将上述式子代入被积函数中，得到：$2\int \arcsin u du$
咨询记录 · 回答于2024-01-06
∫+[arcsinx/根号下x(1-x)]+dx
宝子可以详细的说一下问题吗
该积分的求解比较复杂，需要进行一定的换元和分部积分。下面是求解的步骤：
令 $u = \sqrt{x(1-x)}$，则有 $x = \frac{u^2}{1+u^2}$，$dx = \frac{2u}{(1+u^2)^2}du$。
将上述式子代入被积函数中，得到：
$\int \arcsin \left( \frac{u^2}{1+u^2} \right) \left( 1 - \frac{u^2}{1+u^2} \right) du = 2\int \arcsin \left( \frac{u^2}{1+u^2} \right) \left( 1 + \frac{u^2}{1+u^2} \right) du$
再令 $v = \arcsin (\frac{u^2}{1+u^2})$，则有 $\sin v = \frac{u^2}{1+u^2}$，$\cos v = \frac{u}{1+u^2}$，$du = \frac{\cos v}{\sqrt{\sin v}}dv$。
将上述式子代入被积函数中，得到：
$2\int \arcsin \left( \frac{u^2}{1+u^2} \right) \left( 1 + \frac{u^2}{1+u^2} \right) du = 2\int \cos^2 v \sin v \cos v dv = 2\int (1 - \sin^2 v) \sin v dv$
令 $u = \sqrt{\sin v}$，则有 $v = \arcsin u^2$，$dv = \frac{2u}{\sqrt{1-u^4}}du$。
将上述式子代入被积函数中，得到：
$2\int (1 - \sin^2 v) \sin v dv = 2\int \arcsin u^2 du$
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