Question

已知正三棱锥S-ABC的底面三角形，ABC的中点为O，M为棱SC的中点，OG垂直于平面SAC，且向量AG等于二倍向量GM，若三角形ABC的面积为根号六，则S-ABC的外接球表面积为多少？

Answer 1

问：已知正三棱锥S-ABC的底面三角形，ABC的中点为O，M为棱SC的中点，OG垂直于平面SAC，且向量AG等于二倍向量GM，若三角形ABC的面积为根号六，则S-ABC的外接球表面积为多少？

答：首先，考虑向量AG等于二倍向量GM这个条件。由于G是SC的中点，因此GM等于1/2·SM。因此，向量AG等于2·GM等于SM，也就是向量AG等于向量SM。因此，向量AS等于向量AG+GM=SM+GM=SG。接下来，考虑三角形ABC的中点O。连接AO、BO、CO，分别将三角形ABC分成了三个小三角形。由于O是中点，所以AO=BO=CO，且AO、BO、CO均垂直于平面ABC。因此，三角形ABC可以看作是三棱锥S-ABC和三个小三棱锥的组合体。由于向量AS等于向量SG，因此三角形ASG是等腰三角形，且AG垂直于平面ASG。因此，AG是ASG的高，也是S-ABC的高。另一方面，由于S-ABC是正三棱锥，因此S-ABC的底面三角形ABC是等边三角形。因此，S-ABC的高AG等于底面三角形ABC的高AO。由于ABC是等边三角形，其面积为根号六，因此其高AO等于根号三。因此，S-ABC的高AG也等于根号三。现在我们需要计算S-ABC的底面面积，然后就可以根据三棱锥的体积公式求出S-ABC的体积。由于ABC是等边三角形，其高到任意一边的距离都相等，因此可以计算出三角形ABC任意一条边上的高。不妨设该高为h，则h等于根号三的一半。因此，三角形ABC的底面积为h·AB=根号三的一半乘以AB。由于ABC是等边三角形，因此AB=BC=AC。因此，S-ABC的底面面积等于根号三的三分之一乘以AB的平方。现在我们可以根据三棱锥的体积公式求出S-ABC的体积。三棱锥的体积公式为V=1/3·S·h，其中S是底面面积，h是高。代入S-ABC的底面面积和高，得到V=根号二。因此，S-ABC的体积是根号二。最后，我们需要求出S-ABC的外接球半径。根据正三棱锥的性质，其外接球半径R等于底面三角形ABC的边长除以根号二。因此，S-ABC的外接球半径等于AB除以根号二。

答：因此S-ABC的外接球半径等于根号六除以根号二，也就是根号三。因此，S-ABC的外接球表面积等于四倍的πR²，即四倍的π乘以根号三的平方，也就是四倍的π乘以三，即12π。因此，S-ABC的外接球表面积为12π。

问：为什么要去算S-ABC的体积？

答：我们需要计算S-ABC的体积，是因为根据三棱锥的体积公式，三棱锥的体积等于底面面积乘以高的一半。在这道题中，我们已知S-ABC的底面是一个等边三角形，其高可以根据题目给出的信息计算得出，因此，只需要求出底面面积即可使用三棱锥的体积公式计算S-ABC的体积。S-ABC的体积是后续计算外接球半径和表面积的基础，因此需要先计算出来。