Question

如图，已知一次函数y=kx+b的图像与x轴交与点A，与y轴交与点B，二次函数 2

如图，已知一次函数y=kx+b的图像与x轴交与点A，与y轴交与点B，二次函数 2 y=ax +bx+c的图像经过点B，与x轴只有唯一的交点C，已知OC=OB=2，三角形ABC的面积为6。 1 求直线AB的解析式 2 求二次函数解析式 3 直线AB与二次函数图像交与点D，P为x轴上一动点，若三角形PBD为直角三角形，求P点的坐标

Answer 1

郭敦顒回答：
已知一次函数y=kx+b的图像与x轴交与点A，与y轴交与点B，二次函数 y=ax²+bx+c的图像经过点B，与x轴只有唯一的交点C，已知OC=OB=2，三角形ABC的面积为6。
1，求直线AB的解析式
∵OC=OB=2，三角形ABC的面积为6，
AC=（6×2）/2=6，AO=6－2=4，
∴A的坐标为A（－4，0），B的坐标为B（0，2），
AB的直线方程按两点式有：（y－0）/（x+4）=（0－2）/（－4－0）=1/2，
y=（1/2）x+2，斜率k=1/2，
直线AB的解析式是y=（1/2）x+2。
2， 求二次函数解析式
将二次函数抛物线 y=ax²+bx+c与x轴只有唯一的交点C（2，0），于是
C为抛物线的顶点，
B（0，2）关于抛物线对称轴的对称点是B′（4，2），
将C（2，0）、B（0，2）和B′（4，2）的坐标值分别代入 y=ax²+bx+c得，
2= c
4a+2b+2=0 ，2a+ b=－1 （1）
16a+4b+2=2 ，4a² + b=0 （2）
（2）－2（1）得，2a=1，a=1/2，b=－2a－1=－2，
将a=1/2，b=－2，c=2代入 y=ax²+bx+c得，
y=（1/2）x²－2x+2。
∴二次函数解析式是： y=（1/2）x²－2x+2。
3， 直线AB与二次函数图像交与点D，P为x轴上一动点，若三角形PBD为直角三角形，求P点的坐标，
y=（1/2）x+2与y=（1/2）x²－2x+2联立得，
（1/2）x²－2x+2=（1/2）x+2，
x²－4x=x，x²－5x=0，x1=0，x2=5，
将x2=5代入y=（1/2）x+2得，y=9/2，D的坐标为D（5，9/2），
DP⊥BD于D，△PBD为Rt⊿，
直线DP的斜率k1=－1/k=－1/（1/2）=－2，
直线DP的方程按点斜式有：y－9/2=－2（x－5），
∴y=－2x+29/2，y=0时，－2x+29/2=0，x=29/4，
∴P点坐标为P（9/4，0）。