Question

y=x+1/x^2-2x+3的值域

Answer 1

用Δ判别式法：
x+1=yx^2-2yx+3y
yx^2-(2y+1)x+(3y-1)=0
(1)如果y=0,则x= - 1; 而x= - 1是在定义域中的；所以，y可以取(-1)
(2)如果y≠0;
因为关于x的方程有解，所以Δ≥0
(2y+1)^2-4y(3y-1)≥0
4y^2+4y+1-12y^2+4y≥0
8y^2-8y-1≤0
(8-4√6)/16≤y≤(8+4√6)/16
这个范围中是含有y=0的，所以y的值域为：
[(2-√6)/4,(2+√6)/4]

追问

用对勾函数不等式应用的方法能做吗？我做出的答案不对啊？

追答

用对勾函数的方法：
一要把分子除到分母上去，
二要加绝对值；不推荐；

追问

解出来是1/x+1+x+1/6-1/4但算出的结果不一样啊

Answer 2

y = (x+1)/(x²-2x+3)

由于分母x²-2x+3 = (x-1)²+1≥1
两边同乘以x²-2x+3：
yx²-2yx+3y=x+1

yx²-(2y+1)x+(3y-1)=0
判别式△=(2y+1)²-4y(3y-1)=4y²+4y+1-12y²+4y=-8y²+8y+1≥0
(y-1/2)²-3/8≤0
{y-(2-√6)/4} {{y-(2+√6)/4} ≤ 0
(2-√6)/4 ≤y ≤ (2+√6)/4

追问

用对勾函数不等式应用的方法能做吗？我做出的答案不对啊？

追答

本题严格来说化不成对勾函数。
可以化成对勾函数是复合函数的一部分，而且在分母上，但是这样随之而来的问题是产生了虚假定义域，增加了分析的工作量。

具体在本题中，需要分步太多：

首先，判断定义域：∵分母x²-2x+3 = (x-1)²+1≥1，∴定义域x∈R

然后：x=1时：y=(1+1)/(1-2+3)=1

再然后，x≠1时：y = (x+1)/(x²-2x+3) = [ (x-1) + 2 ] / [ (x-1)² +2 ] = (x-1) / [ (x-1)² +2 ] + 2 / [ (x-1)² +2 ] = 1 / [ (x-1) +2/(x-1) ] + 2 / [ (x-1)² +2 ]

再然后，分别判定x＜1和x＞1两种情况下上述式子的情况，而且上述式子还包括前后两个分式，是不是太罗嗦啊？不但浪费时间，而且啰嗦得多了就难免出错。

Answer 3

能给个图吗