Question

25．（本题满分12分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、B（

25．（本题满分12分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、B（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且A（-1，0），
∴B（3，0）；
可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），由于抛物线经过C（0，-3），
则有：a（0+1）（0-3）=-3，a=1；
∴y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3；
（2）由于A、B关于抛物线的对称轴x=1对称，
那么P点为直线BC与x=1的交点；
由于直线BC经过C（0，-3），可设其解析式为y=kx-3，
则有：3k-3=0，k=1；
∴直线BC的解析式为y=x-3；
当x=1时，y=x-3=-2，即M（1，-2）；
（3）设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l；
∵直线BC：y=x-3，
∴直线l的解析式为：y=-x-3；
当x=1时，y=-x-3=-4；
∴P（1，-4）．

Answer 2

抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)
对称轴为x＝1=-b/a
a=-b
抛物线经过A（—1，0）、B（0，—3）两点坐标代入得
a-b＋c=0
c＝-3
-b-b-3=0，b=-3/2
则a=3/2
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式y＝3x²/2-3/2x-3

Answer 3

-b/2a=1
a-b+c=0
c=-3
函数关系式为 y = -3x^2 + 6x -3

M(1, y)
C(2, -3)
M-A (4+y^2)平方根
M-C (1+(y+3)^2)平方根

2(M-A)(M-C) <= (M-A)^2+(M-C)^2
y>=-1
M=(1,-1)

P(1,y)
C(2,-3)
P-C (1+(y+3)^2)平方根
P-B = P-C
(P-C)^2+(P-B)^2=(B-C)^2
y=-4或y=-2