Question

求函数z=xy+8/x+27/y的极值

Answer 1

问：求函数z=xy+8/x+27/y的极值

答：(1)f' x (x，y)=2x+y-3，f' y (x，y)=x+2y-6， 解方程组 得驻点(0，3)． 函数的二阶导数为 f" xx (x，y)=2，f" xy (x，y)=1，f" yy (x，y)=2 对于点(0，3)，有 A=f" xx (2，-2)=2，B=f" xy (2，-2)=1，C=f" yy (2，-2)=2， 所以有B 2 -AC=0-4＜0，又因为A＞0，所以点(0，3)为函数的极小值点， 即 f 极小 (0，3)=-9； (2)f' x (x，y)=e x-y (x 2 +2x-2y 2 )，f' y (x，y)=-e x-y (x 2 -2y 2 +4y)， 解方程组 ．得驻点(0，0)和(-4,-2)． 对于点(0，0)，有 A=f" xx (0，0)=2，B=f" xy (0，0)=0，C=f" yy (0，0)=-4， 所以有B 2 -AC=0+8＞0，所以点(0，0)不是函数的极值点． 对于点(-4,-2)，有 A=f" xx (-4，-2)=-6e -2 ，B=f" xy (-4，-2)=8e -2 ，C=f" yy (-4，-2)=-12e -2 ， 所以有B 2 -AC=(64-72)e -2 ＜0，又因为A＜0，所以点(-4,-2)是函数的极大值点， 即 f 极大 (-4，-2)=8e -2 ．

问：请写出计算公式

答：f' x (x，y)=2x+y-3，f' y (x，y)=x+2y-6， 解方程组 得驻点(0，3)． 函数的二阶导数为 f" xx (x，y)=2，f" xy (x，y)=1，f" yy (x，y)=2 对于点(0，3)，有 A=f" xx (2，-2)=2，B=f" xy (2，-2)=1，C=f" yy (2，-2)=2， 所以有B 2 -AC=0-4＜0，又因为A＞0，所以点(0，3)为函数的极小值点， 即 f 极小 (0，3)=-9； (2)f' x (x，y)=e x-y (x 2 +2x-2y 2 )，f' y (x，y)=-e x-y (x 2 -2y 2 +4y)， 解方程组 ．得驻点(0，0)和(-4,-2)． 对于点(0，0)，有 A=f" xx (0，0)=2，B=f" xy (0，0)=0，C=f" yy (0，0)=-4， 所以有B 2 -AC=0+8＞0，所以点(0，0)不是函数的极值点． 对于点(-4,-2)，有 A=f" xx (-4，-2)=-6e -2 ，B=f" xy (-4，-2)=8e -2 ，C=f" yy (-4，-2)=-12e -2 ， 所以有B 2 -AC=(64-72)e -2 ＜0，又因为A＜0，所以点(-4,-2)是函数的极大值点， 即 f 极大 (-4，-2)=8e -2 ．