微分方程yx'-2x=5y的通解？
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（1）先求方程xy'–2y=5x对应的齐次方程xy'–2y=0的通解；用分离变量法：
xy'–2y=0，=> xy'=2y
即 x dy/dx=2y,
dy/y=2dx/x
两边积分，ln |y|=C1+2ln |x|
所以，y=C2*x^2； ①
（2）再用常数变易法求方程xy'–2y=5x的一个特解，
由①，设y=C(x)*x^2，带入原方程得:
（y'=C'(x)*x^2+2C(x)*x^2）
x*(C'(x)*x^2+2C(x)*x^2)-2C(x)*x^2=5x，
所以C'(x)=5/(x^2),
积分得：C(x)=-5/x+C0，
取C0=0，则原方程的一个特解为：
y=(-5/x)*x^2=-5x； ②
故原方程的通解为（特解+齐次方程的通解）
y=C*x^2-5x。
咨询记录 · 回答于2022-03-01
微分方程yx'-2x=5y的通解？
（1）先求方程xy'–2y=5x对应的齐次方程xy'–2y=0的通解；用分离变量法：xy'–2y=0，=> xy'=2y即 x dy/dx=2y,dy/y=2dx/x两边积分，ln |y|=C1+2ln |x|所以，y=C2*x^2； ①（2）再用常数变易法求方程xy'–2y=5x的一个特解，由①，设y=C(x)*x^2，带入原方程得:（y'=C'(x)*x^2+2C(x)*x^2）x*(C'(x)*x^2+2C(x)*x^2)-2C(x)*x^2=5x，所以C'(x)=5/(x^2),积分得：C(x)=-5/x+C0，取C0=0，则原方程的一个特解为：y=(-5/x)*x^2=-5x； ②故原方程的通解为（特解+齐次方程的通解）y=C*x^2-5x。
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