Question

设A，B均是n阶方阵，且r（A）+r（B）＜n，证明A，B有公共的特征向量

Answer 1

问：设A，B均是n阶方阵，且r（A）+r（B）＜n，证明A，B有公共的特征向量

答：1. 如果 .rank(A) <= rank(A) + rank(B) n，那么A不是满秩的，因此存在一个非零向量x，使得Ax = 0。这意味着0是A的一个特征值。同样地，如果0是A的一个特征值，那么0也是B的一个特征值。因此，A和B具有公共的特征值0。 2. 为了证明A和B具有公共的特征值0，我们只需证明存在一个非零向量x，使得Ax = 0且Bx = 0。 方法一：Ker(A) = {x ≠ 0 | Ax = 0} 和 Ker(B) = {x ≠ 0 | Bx = 0} 是R^n的线性子空间。它们的维度分别为dimKer(A) = n - rank(A)和dimKer(B) = n - rank(B)。因此，dimKer(A) + dimKer(B) = 2n - (rank(A) + rank(B)) > 2n - n = n = dimR^n。这意味着dim(Ker(A) ∩ Ker(B)) >= dimKer(A) + dimKer(B) - dimR^n > 0。从Ker(A) ∩ Ker(B)中选择一个非零向量x即可。 方法二：如果Ax = 0且Bx = 0，那么存在一个非零向量x，使得(A|B)x = 0。其中，(A|B)是一个由A和B组成的块矩阵。