证明当0<x<1时1+x<eˣ<1+ex

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摘要 # 亲你好，非常高兴为你解答，解答

（1）证明：设 $g(x) = (1-x)e^x$（其中 $0 \leq x < 1$），

$g'(x) = (1-x)e^x - e^x = -x e^x$，

$g'(x) \leq 0$，

$g(x)$ 在区间 $[0, 1)$ 上单调递减；

所以 $g(x) \leq g(0) = 1$，

即 $(1-x)e^x \leq 1$，

因为 $0 \leq x 1$， $1-x > 0$，

所以 $e^x \leq \frac{1}{1-x} \leq e^x$．

（2）解：依题意， $h(x) = e^{-x} + a e^x - 4$（其中 $a > 0$， $- \ln 3 \leq x < 0$），

$h'(x) = - e^{-x} + a e^x$，

解 $h'(x) = 0$ 得 $x = -\frac{1}{2} \ln a$．

（ⅰ）当 $0 < a \leq 1$ 时， $-\frac{1}{2} \ln a \geq 0$，

$h'(x) < 0$ 在 $[- \ln 3, 0)$ 上恒成立，

$h(x)$ 在 $[- \ln 3, 0)$ 上单调递减，

$h(x)$ 在 $[- \ln 3, 0)$ 上有零点当且仅当 $h(-\ln 3) = 0$ 或 $h(0)$，

解得 $a = 3$，与 $a \leq 1$ 不符；

（ⅱ）当 $a \geq 9$ 时， $-\frac{1}{2} \ln a \leq -\ln 3$，

$h'(x) > 0$ 在 $[- \ln 3, 0)$ 上恒成立，

同理可求得 $h(x)$ 在 $[- \ln 3, 0)$ 上无零点；

（ⅲ）当 $1 < a < 9$ 时， $- \ln 3 < -\frac{1}{2} \ln a < 0$，

$h(x)$ 在 $[-\ln 3, -\frac{1}{2} \ln a)$ 上递减，在 $(-\frac{1}{2} \ln a, 0)$ 上递增，

同理可求得 $h(x)$ 在 $[- \ln 3, 0)$ 上有零点．

咨询记录 · 回答于2023-12-28

证明当0

# 亲你好，非常高兴为你解答解答（1）证明：设 $g(x) = (1-x)e^{x}$（其中 $0 \leq x < 1$），$g^{\prime}(x) = (1-x)e^{x} - e^{x} = -xex$， $g^{\prime}(x) \leq 0$，$g(x)$ 在区间 $[0，1）$ 上单调递减；所以 $g(x) \leq g(0) = 1$，即 $(1-x)e^{x} \leq 1$，因为 $0 \leq x 1$，$1-x > 0$，所以 $e^{x} \leq \frac{1}{1-x} \leq 1-\frac{x}{1} \leq 1-\frac{x}{2}$．（2）解：依题意，$h(x) = e^{-x} + aex - 4$（其中 $a > 0$，$-ln3 \leq x < 0$）， $h^{\prime}(x) = -e^{-x} + aex$，解 $h^{\prime}(x) = 0$ 得 $x = - \frac{1}{2}ln a$．（ⅰ）当 $0 < a \leq 1$ 时，$- \frac{1}{2}ln a \geq -ln3 ，h^{\prime}(x) < 0$ 在 $[-ln3，0)$ 上恒成立， $h(x)$ 在 $[-ln3，0)$ 上单调递减，$h(x)$ 在 $[-ln3，0)$ 上有零点当且仅当 $h(-ln3) = 0$ 或 $h(0) h(-ln3)$，解得 $a = 3$，与 $a \leq 1$ 不符；（ⅱ）当 $a \geq 9$ 时，$- \frac{1}{2}ln a \leq -ln3 ，h^{\prime}(x) > 0$ 在 $[-ln3，0)$ 上恒成立，同理可求得 $h(x)$ 在 $[-ln3，0)$ 上无零点；（ⅲ）当 $1 < a < 9$ 时，$-ln3 < - \frac{1}{2}ln a < 0 ，h(x)$ 在 $[ -ln3 ，- \frac{1}{2}ln a )$ 上递减，在 $(- \frac{1}{2}ln a ，0)$ 上递增，同理可求得 $h(x)$ 在 $[-ln3，0)$ 上有零点．

解答：解：令f（x）=ex-x-1则f'（x）=ex-1当x∈（-∞，0）时f'（x）＜0，当x∈（0，+∞）时f'（x）＞0∴当x=0时f（x）取最小值0而x≠0∴f（x）＞0即ex-x-1＞0

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