Question

求f(z)=(1+z)/(1-z)展开成z的幂级数,并指出收敛半径

Answer 1

问：求f(z)=(1+z)/(1-z)展开成z的幂级数,并指出收敛半径

答：您好！设f(z)的幂级数表示为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$，那么根据幂级数的定义，有：$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + \dotsb$$现在，我们可以使用原函数的定义来求出 $a_n$ 系数：$$\begin{aligned} f(z) &= \frac{1+z}{1-z} \ &= \frac{(1+z)(1+z)}{(1-z)(1+z)} \ &= \frac{1+2z+z^2}{1-z^2} \ &= \frac{(1-z^2)+(2z+z^2)}{1-z^2} \ &= 1 + \frac{2z+z^2}{1-z^2} \ &= 1 + 2\sum_{n=0}^{\infty} z^{2n+1} \ &= 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} z^{n} \end{aligned}$$因此，$a_0=1$，$a_n=2$ 当 $n\geq 1$，于是得到了幂级数的展开式：$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} z^n = 1 + 2\frac{z}{1-z}$$收敛半径为幂级数的收敛半径，即使得幂级数在这个半径内收敛的最大半径。对于上述幂级数，显然它的收敛半径为 1。