Question

求曲线y=根号下(2x^2+1)的渐近线

Answer 1

问：求曲线y=根号下(2x^2+1)的渐近线

答：高数渐近线算法是：1、首先找铅垂渐近线，找铅垂渐近线时，曲线在某一点的极限都等于无穷大。也就是一点的左右极限都为无穷。通常铅垂渐近线在曲线无定义点、不可导点。2、其次找水平渐近线。水平渐近线比较好找，计算函数趋于无穷时，极限是否存在。假设存在，记为a，那么x=a就是函数的渐近线。3、最后找斜渐近线。斜渐近线是当x趋于无穷时，f(x)/x的值也趋于某一值a，此时计算[f(x)-ax]趋于无穷时候的极限，如果对于一点，左右极限都存在，那么斜渐近线存在。

答：渐近线是指：曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。可分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

答：求渐近线的方法： 1. 如果当 $x \to \infty$ 时， $f(x) \to c$ ，则曲线 $y = f(x)$ 有一水平渐近线 $y = c$ 。 2. 如果当 $x \to x_0$ 时， $f(x) \to \infty$ ，则曲线 $y = f(x)$ 有一铅直渐近线 $x = x_0$ 。 3. 如果极限 $x \to + \infty \lim \frac{f(x)}{x} = a$ 存在，且极限 $x \to + \infty \lim [f(x) - ax] = b$ 也存在，则曲线 $y = f(x)$ 有渐近线，它的方程是： $y = ax + b$ 。 例如， $y = \frac{x^3}{x^2 + 2x - 3} = \frac{x^3}{(x + 3)(x - 1)}$ 有铅直渐近线 $x = -3$ 和 $x = 1$ ；还有斜渐近线 $y = x - 2$ 。