Question

质量为m，长为l的均匀细棒，可绕垂直于棒一端(此端固定)的水平轴转动，如将此棒放在水平位置，然后任其自由下落。求①开始转动时的角加速度 ②棒下落到竖直位置时的动能 ③棒下落到竖直位置时的角速度

Answer 1

问：质量为m，长为l的均匀细棒，可绕垂直于棒一端(此端固定)的水平轴转动，如将此棒放在水平位置，然后任其自由下落。求①开始转动时的角加速度 ②棒下落到竖直位置时的动能 ③棒下落到竖直位置时的角速度

答：①开始转动时的角加速度：设棒下落的高度为h，重力加速度为g，则在水平位置时，棒的势能为mgh，动能为0。在竖直位置时，棒的势能为0，动能为mgh。由机械能守恒可得：mgh = 1/2 * I * ω^2其中，I为棒绕轴的转动惯量，ω为角速度。由于棒是绕垂直于一端的轴转动，转动惯量为：I = 1/3 * m * l^2将I代入上式，可得：ω^2 = 3gh/l因此，开始转动时的角加速度为：α = ω/t = ω^2 / 2h = 3g/2l

答：②棒下落到竖直位置时的动能：棒下落到竖直位置时，势能为0，动能全部转化为旋转动能。由机械能守恒可得：mgh = 1/2 * I * ω^2 + 1/2 * m * v^2其中，v为棒下落到竖直位置时的线速度，由能量守恒可得：v = sqrt(2gh)将I代入上式，可得：mgh = 1/2 * 1/3 * m * l^2 * ω^2 + 1/2 * m * (sqrt(2gh))^2化简可得：mgh = 1/3 * m * l^2 * ω^2 + mgh因此，棒下落到竖直位置时的动能为：K = 1/6 * m * l^2 * ω^2

答：③棒下落到竖直位置时的角速度：由机械能守恒可得：mgh = 1/2 * I * ω^2 + 1/2 * m * v^2将I代入上式，可得：mgh = 1/2 * 1/3 * m * l^2 * ω^2 + 1/2 * m * (sqrt(2gh))^2化简可得：ω^2 = 6gh/l^2所以，棒下落到竖直位置时的角速度为：ω = sqrt(6gh)/l