Question

limx→0+∫(0,sinx)((e^t)^2-1)dt/∫(x,0)sint^2dt

Answer 1

问：limx→0+∫(0,sinx)((e^t)^2-1)dt/∫(x,0)sint^2dt

答：你好，给定的微积分问题是：limx→0+ ∫0sinx [(et)2-1] dt / ∫x0 sin2t dt

问：第2题

答：你好，请打字描述你的问题。

问：limx→0∫(0,sinx)((e^t)^2-1)dt/∫(x,0)sint^2dt

答：你好，你发的这是题目，你把问题打字发过来

问：求极限limx→0∫(0,sinx)((e^t)^2-1)dt/∫(x,0)sint^2dt

答：你好，要求的极限为:lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{\sin x} ((e^t)^2-1)dt}{\int_{x}^{0} \sin(t)^2 dt}首先，我们可以化简分母:\int_{x}^{0} \sin(t)^2 dt = \int_{0}^{-x} \sin(u)^2 (-du)= \int_{0}^{-x} \frac{1 - \cos(2u)}{2} du = \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)对于分子，我们可以对$(e^t)^2-1进行积分:\int ((e^t)^2-1)dt = \frac{1}{3}e^{2t} - t + C因此，原极限化为:\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}(e^{2\sin x}-1) - \sin x}{\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)}我们可以用洛必达法则来求解这个极限:\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3}e^{2\sin x} \cos x - \cos x}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)}再次使用洛必达法则:\lim_{x \to 0} \frac{\frac{4}{3}e^{2\sin x} \cos^2 x + \frac{2}{3}e^{2\sin x} \sin x - \sin(2x)}{-2\sin(2x)}代入x=0，得到极限的值为:\boxed{\frac{4}{3}}

问：老师，看不懂 怎么书写啊

答：你好，你是哪里看不懂，你说出来我为你解答。

问：\boxed是什么意思

答：你好，\boxed 用于将一些数学公式放置在方框中以强调其重要性。它可以用在各种数学环境中，如行内公式、行间公式和矩阵等。