Question

求微分方程y(dx)/(dy)+x=-y^3+的通解

Answer 1

问：求微分方程y(dx)/(dy)+x=-y^3+的通解

答：您好，亲，以下是根据您的提问，求微分方程y(dx)/(dy)+x=-y^3+的通解，整理出来的答案： 首先，将微分方程改写为标准形式，即将 dx/dy 移到等式的另一侧，得到：dx/dy = -(x + y^3) / y 现在可以使用变量分离法来解决这个微分方程。将 y 移到方程的左侧，将 dx 移到右侧，并对两侧同时积分，得到：∫ y dy / (y^3 - x) = ∫ dx 我们可以使用部分分式分解来计算左侧的积分。假设 y^3 - x 的因式分解形式为 (y - a)(y^2 + ay + a^2 + b)，其中 a 和 b 是待定常数。那么我们可以将 y / (y^3 - x) 分解为：y / (y^3 - x) = A / (y - a) + (By + C) / (y^2 + ay + a^2 + b) 通过比较系数，我们可以确定 A，B 和 C 的值：A = 1 / (3a^2 + b) B = -a / (3a^2 + b) C = 1 / (3a^2 + b) 现在我们可以将 y / (y^3 - x) 分解为两个简单的分式：y / (y^3 - x) =

答：y / (y^3 - x) = 1 / (3a^2 + b) * (1 / (y - a) - (ay + a^2 + b) / (y^2 + ay + a^2 + b))

问：可以发图片吗 写一下

答：因此，我们得到了下面的积分： $\int \frac{1}{3a^{2} + b} \left[ \frac{1}{y - a} - \frac{ay + a^{2} + b}{y^{2} + ay + a^{2} + b} \right] dy = \int dx$ 第一项的积分很简单，直接是 $\ln |y - a|$。 对于第二项，我们可以使用一个有理函数的积分公式： $\int \frac{ay + a^{2} + b}{y^{2} + ay + a^{2} + b} dy = \frac{1}{2} \ln |y^{2} + ay + a^{2} + b|$ 现在，我们可以将这两个积分代入原方程中，得到： $\ln |y - a| - \frac{1}{6a^{2} + 2b} \ln |y^{2} + ay + a^{2} + b| = x + C$ 合并两个对数，我们得到： $\frac{|y - a|}{|y^{2} + ay + a^{2} + b|^{\frac{1}{6a^{2} + 2b}}} = e^{x+C}$ 现在，我们可以通过一些代数运算来消去绝对值，并将方程重写为。

答：(y - a) / (y^2 + ay + a^2 + b)^(1/(6a^2+2b)) = Ce^x其中 C = ±e^C 是一个常数。最终解为：y^2 + ay + a^2 + b = C^(-6a^2-2b)/(y-a)^2这是微分方程的通解。

问：可以发图片吗