Question

设P是一个二次多项式,使得P(0)=-1,且∫P(x)/(x^2(2x+1)^3)dx是一个有理函数

Answer 1

问：设P是一个二次多项式,使得P(0)=-1,且∫P(x)/(x^2(2x+1)^3)dx是一个有理函数

问：好

问：怎么解答

问：怎么能看到您的解答？

答：亲亲，下午好1.首先将P(x)分解为P(x)=A(2x+1)^2+Bx+C，因为P(0)=-1，所以C=-1.2.将∫P(x)/(x^2(2x+1)^3)dx分解为∫A(2x+1)^2dx/x^2(2x+1)^3+∫Bxdx/x^2(2x+1)^3+∫Cdx/x^2(2x+1)^3.3.先求∫A(2x+1)^2dx/x^2(2x+1)^3的积分：将A(2x+1)^2=u，du=2(2x+1)dx，dv=x^2(2x+1)^3dx，v=1/4(2x+1)^4，∫A(2x+1)^2dx/x^2(2x+1)^3=1/4∫udv=1/4u*v-1/4∫vdu=1/4A(2x+1)^4-1/4∫2(2x+1)d(2x+1)^4=1/4A(2x+1)^4-1/4*2(2x+1)^5+C14.求∫Bxdx/x^2(2x+1)^3的积分：将Bx=u，du=Bdx，dv=x^2(2x+1)^3dx，v=1/3(2x+1)^3，∫Bxdx/x^2(2x+1)^3=1/3∫udv=1/3u*v-1/3∫vdu=1/3B(2x+1)^3-1/3∫(2x+1)^3dB=1/3B(2x+1)^3-1/3B(2x+1)^3+C25.求∫Cdx/x^2(2x+1)^3的积分：将C=u，du=Cdx，dv=x^2(2x+1)^3dx，v=1/2(2x+1)^2，∫Cdx/x^2(2x+1)^3=1/2∫udv=1/2u*v-1/2∫vdu=1/2C(2x+1)^2-1/2∫(2x+1)^2dC=1/2C(2x+1)^2-1/2C(2x+1)^2+C36.将上面得到的积分结果合并，得到∫P(x)/(x^2(2x+1)^3)dx=1/4A(2x+1)^4-1/3B(2x+1)^3-1/2C(2x+1)^2+C7.由于∫P(x)/(x^2(2x+1)^3)dx是一个有理函数，所以C=0，因此可以得到P(x)=A(2x+1)^2+Bx-1.

问：好的

问：设P是一个二次多项式，使得P(0)=-1，且∫P(x)/(x^2(2x+1)^3)dx是一个有理函数(即，两个多项式的商)。求导数P′(0)的值。请说明你的答案。[提示。- 写出P(x) = ax2 + bx + c. 那么P(0)和P′(0)可以用P的系数a, b和c来表示。- 将P(x)/(x^2(2x+1)^3)分解为部分分数（分子为一些未知的常数），看看它们各自的反导数的一般形式是什么。- 这些反导数本身应该是一个有理函数的总和，这意味着不允许有对数项。这意味着，在部分分数分解中的五个未知常数中的两个中的两个未知常数必须为零。- 最后，将上述部分分数分解转化为多项式方程并比较比较两边对应的x的幂的系数，找出答案] 。

问：这是我的原题

答：答：P(x) = ax2 + bx + c，其中a, b和c是未知常数。根据P(0)=-1，我们可以得到c=-1。将P(x)/(x^2(2x+1)^3)分解为部分分数，可得：P(x)/(x^2(2x+1)^3) = A/(2x+1) + B/(2x+1)^2 + C/(2x+1)^3 + D/x + E/x^2其中A, B, C, D, E是未知常数。反导数的一般形式分别为：A/(2x+1)^2 - 2B/(2x+1)^3 + 3C/(2x+1)^4 - D/x^2 + 2E/x^3由于∫P(x)/(x^2(2x+1)^3)dx是一个有理函数，因此A和D必须为0，即A=D=0。最后，将上述部分分数分解转化为多项式方程，得：ax^2 + bx + c = (Bx + E) + (Cx^2 + 2E) + (2Bx^3 + 3Cx^4)比较x^2的系数，可得a=B+C；比较x的系数，可得b=2B+E；比较常数项，可得c=-1。因此，P′(0) = 2B+E = b = 2B+(-1) = 2B-1。