Question

secx求积分的过程

Answer 1

secx求积分的过程如下：
方法1：原式=∫dx/cosx=∫cosxdx/（cosx）^2
=∫d（sinx）/【1-（sinx）^2】
令t=sinx
=∫dt/（1-t^2）
=（1/2）∫dt/（1+t）+（1/2）∫dt/（1-t）
=（1/2）∫d（1+t）/（1+t）-（1/2）∫d（1-t）/（1-t）
=（1/2）ln|（1+t）/（1-t）|+C
=（1/2）ln|（1+sinx）/（1-sinx）|+C
=ln（secx+tanx|+C=右边
方法2：∫secxdx
=∫secx（tanx+secx）dx/（tanx+secx）
=∫d（secx+tanx）/（secx+tanx）
=ln|secx+tanx|+C
方法3：将t=sinx
原式secx=【ln（1+sinx）-ln（1-sinx）】/2+C。
则secx=1/cosx∫secxdx=∫1/cosxdx=∫1/（cosx的平方）dsinx=∫1/（1-sinx的平方）dsinx
令sinx=t，代入上式原式
=∫1/（1-t^2）dt
=1/2∫【1/（1-t）+1/（1+t）】dt
=1/2∫1/（1-t）dt+1/2∫1/（1+t）dt
=-1/2ln（1-t）+1/2ln（1+t）+C
将t=sinx代人可得原式=【ln（1+sinx）-ln（1-sinx）】/2+C

勒贝格积分：

勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此，需要更为广义上的积分概念，使得更多的函数能够定义积分。同时，对于黎曼可积的函数，新积分的定义不应当与之冲突。勒贝格积分就是这样的一种积分。黎曼积分对初等函数和分段连续的函数定义了积分的概念，勒贝格积分则将积分的定义推广到测度空间里。