Question

R和S均为集合上具有对称性的关系，R∪S是否有对称性？证明并举例

Answer 1

问：R和S均为集合上具有对称性的关系，R∪S是否有对称性？证明并举例

答：您好，亲。这边根据您提供的问题，为您查询到以下：R和S均为集合上具有对称性的关系，即对于任意的a和b，若a R b，则b R a；若a S b，则b S a。现在考虑关系R∪S是否具有对称性。假设a R∪S b，即a R b或a S b成立。如果a R b，则根据R的对称性，有b R a成立；如果a S b，则根据S的对称性，有b S a成立。因此，无论a R b还是a S b，都有b R∪S a成立，即R∪S具有对称性。举例来说，假设R表示“a和b的差是偶数”，S表示“a和b的和是奇数”。显然，R和S都具有对称性。现在考虑R∪S，即“a和b的差是偶数或者和是奇数”。对于任意的a和b，如果a和b的差是偶数，则b和a的差也是偶数，因此R∪S具有对称性。同理，如果a和b的和是奇数，则b和a的和也是奇数，因此R∪S也具有对称性。

问：a S b是什么意思

答：已经回答了R和S均为集合上具有对称性的关系，R∪S是否有对称性？证明并举例的问题，现在来回答a S b是什么意思的问题。a S b表示a和b之间存在某种关系S，这个关系S可以是任何一种关系，比如等于、大于、小于、包含、相似等等。具体来说，如果S表示“a和b的和是奇数”，那么a S b的意思就是a和b的和是奇数。如果S表示“a和b的差是偶数”，那么a S b的意思就是a和b的差是偶数。在数学中，S通常表示一种二元关系，即一个由两个元素组成的有序对，如(a,b)∈S表示a和b之间存在关系S。

问：R和S均为集合A上具有对称性的关系，R∪S是否有对称性？证明并举例

答：已经回答了a S b是什么意思的问题，现在来回答R和S均为集合A上具有对称性的关系，R∪S是否有对称性？证明并举例的问题。假设R和S都是集合A上具有对称性的关系，即对于任意的a和b，若a R b，则b R a；若a S b，则b S a。现在考虑关系R∪S是否具有对称性。假设a R∪S b，即a R b或a S b成立。如果a R b，则根据R的对称性，有b R a成立；如果a S b，则根据S的对称性，有b S a成立。因此，无论a R b还是a S b，都有b R∪S a成立，即R∪S具有对称性。举例来说，假设A={1,2,3,4}，R表示“a和b的差是偶数”，S表示“a和b的和是奇数”。显然，R和S都具有对称性。现在考虑R∪S，即“a和b的差是偶数或者和是奇数”。对于任意的a和b，如果a和b的差是偶数，则b和a的差也是偶数，因此R∪S具有对称性。同理，如果a和b的和是奇数，则b和a的和也是奇数，因此R∪S也具有对称性。

问：a R∪S b是啥意思

答：首先，关系R和S具有对称性，意味着对于任意的a和b，如果a R b，则必有b R a；如果a S b，则必有b S a。现在考虑关系R∪S，即R和S的并集。对于任意的a和b，如果a (R∪S) b，则必有a R b或a S b。因此，我们需要证明，如果a (R∪S) b，则必有b (R∪S) a。假设a (R∪S) b，即a R b或a S b。如果a R b，则由R的对称性可知，有b R a。因此，b (R∪S) a。如果a S b，则由S的对称性可知，有b S a。因此，b (R∪S) a。综上所述，无论a (R∪S) b是由于a R b还是a S b，都有b (R∪S) a。因此，关系R∪S具有对称性。举例来说，假设集合A为{1, 2, 3}，关系R表示大于等于关系，即a R b表示a大于等于b；关系S表示小于等于关系，即a S b表示a小于等于b。则关系R和S都具有对称性。例如，1 R 2，则2 S 1。因此，关系R∪S也具有对称性。关于a S b的意思，它表示a和b之间存在小于等于的关系。例如，1 S 2表示1小于等于2。关于a R∪S b的意思，它表示a和b之间存在关系R或关系S中的至少一个。例如，如果1 R 2，那么1 R∪S 2成立；如果2 S 3，那么1 R∪S 3成立。

问：有理数都不是无理数做出推理有效性的形式证明

答：已经回答了前两个问题，现在回答第三个问题。假设a是一个有理数，b是一个无理数。我们需要证明，a不可能与b存在关系R∪S。首先，由于R和S都是对称关系，因此如果a R b，则必有b R a；如果a S b，则必有b S a。但是，由于a是有理数，b是无理数，因此a和b之间不存在任何大小关系，即a既不大于等于b，也不小于等于b。因此，a不可能与b存在关系R或S。其次，由于R∪S表示R和S的并集，因此如果a R∪S b，则必有a R b或a S b。但是，我们已经证明了a和b之间不存在关系R或S，因此a也不可能与b存在关系R∪S。综上所述，对于任意的有理数a和无理数b，a不可能与b存在关系R∪S。因此，我们可以得出结论：所有的有理数都不是无理数。这个结论可以用推理有效性的形式证明，即：前提1：如果一个数是有理数，则它可以表示为两个整数的比。前提2：如果一个数是无理数，则它不能表示为两个整数的比。结论：所有的有理数都不是无理数。证明：假设存在一个有理数a和一个无理数b，使得a等于b。根据前提1，a可以表示为两个整数的比，即a=p/q，其中p和q是整数，且q不等于0。根据前提2，b不能表示为两个整数的比，因此b不可能等于p/q。因此，假设不成立，所有的有理数都不是无理数。证毕。