Question

平行四边形ABCD周长为16,对角线AC与BD交于点O, E是AD上方任意一点, AE垂直于DE,连接OE,求OE 最大值

Answer 1

问：平行四边形ABCD周长为16,对角线AC与BD交于点O, E是AD上方任意一点, AE垂直于DE,连接OE,求OE 最大值

问：好的

问：图形大致是这样

答：在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O。我们需要找到点 E 在 AD 上的任意位置，使得 OE 的长度最大化。设 AB = CD = a，BC = AD = b。根据平行四边形的性质，对角线 AC 和 BD 将平行四边形分割成两个全等三角形 AOB 和 COD。因此，AO = CO = a，BO = DO = b。根据题目条件，AE 垂直于 DE，因此三角形 ADE 是直角三角形。我们来考虑三角形 ODE。根据勾股定理，在直角三角形 ODE 中，有 OE² = OD² + DE²。我们已知 OD = BO + BD = b + a，DE = AD - AE = b - AE。将这些值代入 OE² 的表达式中，得到 OE² = (b + a)² + (b - AE)²。展开 OE²，得到 OE² = b² + 2ab + a² + b² - 2bAE + AE²。要使 OE 最大化，我们可以观察到 OE² 最大化时 OE 也最大化。因此，我们需要找到使 OE² 最大化的点 E。

答：为了找到 OE² 的最大值，我们可以考虑其二次函数形式。OE² = 2a² - 2bAE + b² + AE² + b²= AE² - 2bAE + (2a² + 2b²).观察该二次函数的标准形式，其中 a = 1，b = -2b，c = 2a² + 2b²。二次函数的顶点横坐标为 x = -b / (2a) = b / (4b) = 1/4。因此，当 AE = 1/4 时，OE² 取得最大值。根据平行四边形 ABCD 的周长为 16，即 2(a + b) = 16，我们有 a + b = 8。由此可得 AE = 8 - AD = 8 - b。将 AE = 8 - b = 1/4，解方程得到 b = 31/8。因此，OE 的最大值为√OE² = √(AE² - 2bAE + (2a² + 2b²)) = √(1/4 - 2(31/8)(1/4) + (2 + (31/8)²))= √(1/4 - 31/32 + 2 + 31²/64)= √(8/32 - 31/32 + 64/32 + 31²/64)= √(41 + 31²)/64= √(41 + 961)/64= √1002/64= √1002 / 8≈ 3.980.因此，OE 的最大值约为 3.980。