Question

设v1,v2是n维线性空间v的两个子空间,充分必要条件

Answer 1

问：设v1,v2是n维线性空间v的两个子空间,充分必要条件

答：您好，亲。这边根据您提供的问题，为您查询到以下： 充分必要条件是： $v1 \cap v2$ 是 $v1$ 和 $v2$ 的子空间。 证明： 充分性： 如果 $v1 \cap v2$ 是 $v1$ 和 $v2$ 的子空间，那么对于任意的 $u1, u2 \in v1 \cap v2$，有 $u1 + u2 \in v1 \cap v2$，即 $u1 + u2$ 同时属于 $v1$ 和 $v2$。因此，$v1 + v2$ 是 $v1$ 和 $v2$ 的子空间。 必要性： 如果 $v1 + v2$ 是 $v1$ 和 $v2$ 的子空间，那么对于任意的 $u1, u2 \in v1 \cap v2$，有 $u1 + u2 \in v1 + v2$，即 $u1 + u2$ 可以表示为 $v1$ 和 $v2$ 中向量的线性组合。因此，$u1 + u2$ 同时属于 $v1$ 和 $v2$，即 $u1 + u2 \in v1 \cap v2$。因此，$v1 \cap v2$ 是 $v1$ 和 $v2$ 的子空间。 综上所述， $v1 \cap v2$ 是 $v1$ 和 $v2$ 的子空间是 $v1 + v2$ 是 $v1$ 和 $v2$ 的子空间的充分必要条件。