Question

limn^(-1/n)=1 0

Answer 1

问：limn^(-1/n)=1 0

答：为了求解这个极限，我们可以将它转化为指数形式，即`e^(lim n^(-1/n))=e^1`，从而得到`lim n^(-1/n) = 1`。 现在我们考虑如何证明这个结论。 首先，我们有`n^(1/n) >= 1`，这是因为，对于任意正整数 `n`，我们有 `n = n^(1/n)^n >= 1^n = 1` 因此，`1/n n) - 1)/ln(n^(1/n))`也就是`n^(1/n) >= e^(-1/n)`。由于 `e^(-1/n) `收敛于 ` 1`，我们可以得到`lim n^(-1/n) >= 1`。 另一方面，我们也有 `n = (n^2)^(1/2n) >= (n+1)^(1/2n) > ((n+1)/n)^(1/2n) = (1+1/n)^(1/2n)` 于是，`1/n (1+1/n)^(1/2n)`，再次取两边的倒数，得到 `n^(-1/n) > (1+1/n)^(-1/2)`。由于 `(1+1/n)^(-1/2)` 收敛于 ` 1`，我们可以得到`lim n^(-1/n) <= 1`。

问：lim n∧（－1/n）＝1​n→∞

问：证明一下呗

答：要求 $\lim_{n\to\infty}n^{-1/n}=1$，可以使用以下方法： 令 $a_n=n^{-1/n}$， 则 $\ln a_n=-\frac{1}{n}\ln n$。 因此： $$\lim_{n\to\infty}\ln a_n=\lim_{n\to\infty}-\frac{1}{n}\ln n=0$$ 最后一步用到了极限 $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0$，可以使用洛必达法则证明。 因此 $\lim_{n\to\infty}a_n=e^{0}=1$，得证。