Question

已知直线L与函数f(x)=Inx的图象相切于点（1,0），且L与函数g(x)=1\2x的平方＋mx+7\2(m<0)的图象也相切，求

求证：f(a+b)-f(2a)<b-a/2a

Answer 1

构造函数来证明。
设h(x)=lnx-x+1(x>0),
求导得：h’(x)=1/x-1=(1-x)/x,
x>1时，h’(x)<0,函数递减；
0<x<1时，h’(x)>0,函数递增。
所以x=1时函数取到极大值h(1)=ln1-1+1=0.
∴h(x)=lnx-x+1≤0，（x=1时取等号）
令x=(a+b)/(2a),
则有ln(a+b)/(2a)-(a+b)/(2a)+1<0,
ln(a+b)/(2a) <(a+b)/(2a)-1,
即ln(a+b)/(2a) <(b-a)/(2a).

Answer 2

构造函数来证明。
设h(x)=lnx-x+1(x>0),
求导得：h’(x)=1/x-1=(1-x)/x,
x>1时，h’(x)<0,函数递减；
0<x<1时，h’(x)>0,函数递增。
所以x=1时函数取到极大值h(1)=ln1-1+1=0.
∴h(x)=lnx-x+1≤0，（x=1时取等号）
令x=(a+b)/(2a),
则有ln(a+b)/(2a)-(a+b)/(2a)+1<0,
ln(a+b)/(2a) <(a+b)/(2a)-1,
即ln(a+b)/(2a) <(b-a)/(2a).