Question

两条直线l1；A1x+B1y+C1=0 和l2：A2x+B2x+C2 =0的夹角θ的余弦

cosθ =|A1A2+B1B2|/√(A1^2+B1^2)(A2^2+B2^2)
证明一下 这是数学必修四P120 探索与研究的题

Answer 1

由于只是求这两个直线夹角的余弦 所以跟c1 c2无关
该两个直线的夹角与A1x+B1y=0 和l2：A2x+B2x =0的夹角θ的余弦相等
A1x+B1y=0 该直线方向向量（－B1．A1）
A2x+B2x =0 该直线方向向量（－B2．A2）
上面两个直线都过原点所以他们的夹角余弦
根据公式AB＝｜A｜｜B｜cosθ ．cosθ ＝AB／｜A｜｜B｜ 所以
cosθ =|A1A2+B1B2|/√(A1^2+B1^2)(A2^2+B2^2)

Answer 2

直线l1的斜率k1=-A1/B1，l2的斜率k2=-A2/B2；
夹角的余弦cosθ=(1+k1xk2)/√[(1+k1^2)(1+k2^2)]
所以得cosθ =|A1A2+B1B2|/√(A1^2+B1^2)(A2^2+B2^2)
得证

Answer 3

运用tanθ＝（k2－k1）／（1＋k1·k2）, 再用1＋tan²θ＝1／cos²θ,即可