抛物线y=x²bx+c的对称轴为直线x=1,且图像与x轴交于AB两点（A在B点的左侧）
AB=4，与y轴交于C点，顶点是M（1）求抛物线解析式（2）在抛物线上是否存在点P，使得O.C.M.P四点构成的四边形为梯形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若...
AB=4，与y轴交于C点，顶点是M
（1）求抛物线解析式
（2）在抛物线上是否存在点P，使得O.C.M.P四点构成的四边形为梯形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由。
（3）设直线y=-x+3与X轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B.D重合），经过A.B.E三点的圆交直线BC于F，试判断△AEF的形状，并说明理由。
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（1）求抛物线解析式
（2）在抛物线上是否存在点P，使得O.C.M.P四点构成的四边形为梯形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由。
（3）设直线y=-x+3与X轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B.D重合），经过A.B.E三点的圆交直线BC于F，试判断△AEF的形状，并说明理由。
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1、P是抛物线y²=4x的点 则点P到直线4x+3y+15=0的距离最小值是多少？
解：设点P到直线的距离为d
设点P的坐标为（y²/4，y）
代入距离公式
d=｜y²+3y+15｜/√（4²+3²）=｜（y+3/2）²+51/4｜/5
很明显，y=-3/2时，y²+3y+15有最小值是51/4所以点P到直线的距离最小值是51/20
2、在直角坐标系中，抛物线y=ax²＋bx＋c与x轴交于a，b两点，（点a在点b左侧），与y轴交于点c，点a（－3,0）点c（0,3），且抛物线对称轴是x=－2（1）若p是线段ac上一点，设△abp，△bpc的面积分别为s△abp，s△bpc，且s△abp比s△bpc=2比3，求p坐标（2）设圆心q半径为1，圆心q在抛物线上运动，则在运动过程中手否存在圆心q与y轴相切的情况，求q的坐标
解：（1）根据题意
对称轴x=-2
那么点b的坐标是（-1，0）
s△abp比s△bpc=2比3
因为s△abp和s△bpc是不同底而等高
也就是说ap：pc=2：3
oa²+oc²=ac²
ac=3√2
oa=oc，所以角oac是45度
那么点p到y轴距离=ac×3/5×cos角oac=3√2×3/5×√2/2=9/5
点p到x轴距离=ac×2/5×sin角oac=3√2×2/5×√2/2=6/5
所以点p的坐标是（-9/5，6/5）
（2）根据题意设抛物线解析式为y=ax²+bx+3
将（-3，0）（-2，0）代入
9a-3b+3=0
4a-2b+3=0
解得
a=1/2，b=-5/2
y=1/2x²-5/2x+3
如果存在q点，那么也就是说点q的距离到y轴=1
也就是当x=1或-1的时候
x=-1，y=0
x=1，y=5
q（-1，0）或（1，5）
3、直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交与点B，以线段AB为直径作圆C，抛物线y=ax的平方+bx+c过A，C，O三点。 1、求点C的坐标和抛物线的解析式。2.过点B作直线与x轴交于点D，且OB的平方=OA*OD，求证DB是圆C的切线。3.抛物线上是否存在一点P，使以P,O,C,A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由。
解：如图
1、令x=0和y=0分别求出点A和B的坐标
点A（6，0），B（0，6）
圆心C的坐标为（3，3）
设抛物线的方程为y=ax²+bx
将（3，3）和（6，0）分别代入
9a+3b=3
36a+6b=0
解得
a=-1/3，b=2
抛物线的解析式为y=-1/3x²+2x
2、设点D的坐标为（x，0）
｜OB｜=6,｜OD｜=｜x｜,｜OA｜=6
根据题意
36=｜x｜×6
x=-6或6（舍去）
点D的坐标为（-6，0）
｜AD｜=12，｜AB｜=6√2，｜BD｜=6√2
｜AB｜²+｜BD｜²=｜AD｜²
所以∠ABD=90度
BD是圆C的切线
3、存在一点P
｜OA｜=6，｜OC｜=3√2，｜AC｜=3√2
｜OC｜²+｜AC｜²=｜OA｜²
所以∠OCA=90度
过点A作OC的平行线交抛物线于点P，交y轴于点E，点P即为所求
由题意可知
BD‖OC‖AP，且C为AB中点
所以点O为BE中点，点E的坐标为 （0，-6）
直线AP和直线AB垂直，所以直线AP的斜率是1
直线AP的方程为y=x-6
联立
y=x-6（1）
y=-1/3x²+2x（2）
（1）代入（2）
x-6=-1/3x²+2x
化简
x²-3x-18=0
（x-6）（x+3）=0
x=-3或x=6（舍去，此时为点A坐标）
x=-3时，y=-9
所以点P的坐标为（-3，-9）
4、已知点P是函数y=1/2x（x>0）图像上的一点，PA⊥x轴于点A，交函数Y=1/x(x>0)图像于点M ，PB⊥y轴于点B，交函数y=1/x(x>0)于点N（点MN不重合）
（1）当点P的横坐标为2时，求△PMN的面积；
（2）证明：MN‖AB；（如图7）
（3）试问：△OMN能否为直角三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由.
解：（1）点P横的坐标是2，那么纵坐标是1
点P（2，1），A（2，0），B（0，1）
将x=2代入y=1/x，y=1/2，那么点M的坐标（2，1/2）
将y=1代入y=1/x，x=1，那么点N的坐标为（1，1）
PM=1-1/2=1/2
PN=2-1=1
S△PMN=1/2×PM×PN=1/2×1/2×1=1/4
（2）
直线AB的斜率=（0-1）/（2-0）=-1/2
直线MN的斜率=（1/2-1）/（2-1）=-1/2
二者斜率相等
那么AB‖MN
（3）设点P的坐标为（2a，a）
则点M的坐标为（2a，1/2a）点N的坐标为（1/a，a）
直线AB的斜率是-1/2，∠MON明显不是直角
与直线AB垂直的直线方程是y=2x
y=2x
y=1/x
联立
x²=1/2
x=√2/2或-√2/2（舍去）
y=√2
点N的坐标就是（√2/2，√2）
点P的纵坐标就是√2，横坐标就是2√2
此时点M的坐标就是（2√2，√2/4）
此时ON垂直MN，三角形OMN是直角三角形
点P的坐标是（2√2.，√2）
5、知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=－2。
（1）求此抛物线的表达式
（2）连接AC、BC、，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E做EF//AC交与点F,连接CE,设AE的长为m，⊿CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此点E的坐标，判断此时⊿BCE的形状;若不存在，请说明理由。
解：（1）方程x²-10x+16=0
（x-2）（x-8）=0
x=2或x=8
那么OB=2，OC=8
点B的坐标为（2，0），点C（0，8）
设抛物线为y=a（x+2）²+b
代入
16a+b=0（1）
4a+b=8（2）
（1）-（2）
12a=-8
a=-2/3
b=32/3
抛物线方程为y=-2/3（x+2）²+32/3=-2/3x²-8/3x+8
（2）点A的坐标为（-6，0）关于x=-2和点B对称
点E的坐标为（m-6，0）
直线AC的斜率=8/6=4/3
那么EF的斜率=4/3
直线BC的方程为x/2+y/8=1
4x+y=8
设直线EF的方程为y=4/3x+b
将点E代入
0=4/3（m-6）+b
b=8-4/3m
直线EF的方程为y=4/3x+8-4/3m
与4x+y=8求出交点（m/4，8-m）
S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BFE
=1/2×8×8-1/2×m×8-1/2×（8-m）×（8-m）
=-1/2（m-8）²-4m+32
=-1/2m²+8m-32-4m+32
=-1/2m²+4m
0<m<8
（3）S=-1/2m²+4m=-1/2（m²-8m）=-1/2（m-4）²+8
此时m=4的时候S有最大值
S=8，此时点E的坐标（-2，0）
即为原来抛物线的对称轴上
△BCE是等腰三角形
OE=BE=2
OC垂直平分BE，所以△BCE是等腰三角形
6、“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图，其中线段PA表示距离水面（ 轴）高度为5m的平台（点P在 轴上）。滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点，且点B到水面的距离BE=2m，点B到y轴的距离是5m。当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离CG=3/2 m,与点B的水平距离CF=2m.
(1)求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围.
(2)求二次函数的解析式及其自变量的取值范围.
(3)小明从点A滑水面上点D处时,试求他所滑过的水平距离
解：（1）
根据题意
我们确定几个点的坐标
B（5，2），C（7，3/2）
设AB的解析式为y=k/x
将点B代入
2=k/5
k=10
AB的解析式为y=10/x
当y=5的时候，x=2
所以点A（2，5）
那么自变量下的取值范围为（2≤x≤5）
（2）设抛物线BCD的解析式为
y=a（x-5）²+2
将点C的坐标代入
那么
3/2=a×4+2
a=-1/8
y=-1/8（x-5）²+2=-1/8x²+5/4x-9/8
令y=0
-1/8x²+5/4x-9/8=0
x²-10x+9=0
（x-1）（x-9）=0
x=1或x=9
所以点D的坐标为（9，0）
自变量x的取值范围5≤x≤9
（3）水平距离=｜OD-PA｜=｜9-2｜=7
未必符合，仅供学习参考，祝你学习进步！
有需要hi我
解：设点P到直线的距离为d
设点P的坐标为（y²/4，y）
代入距离公式
d=｜y²+3y+15｜/√（4²+3²）=｜（y+3/2）²+51/4｜/5
很明显，y=-3/2时，y²+3y+15有最小值是51/4所以点P到直线的距离最小值是51/20
2、在直角坐标系中，抛物线y=ax²＋bx＋c与x轴交于a，b两点，（点a在点b左侧），与y轴交于点c，点a（－3,0）点c（0,3），且抛物线对称轴是x=－2（1）若p是线段ac上一点，设△abp，△bpc的面积分别为s△abp，s△bpc，且s△abp比s△bpc=2比3，求p坐标（2）设圆心q半径为1，圆心q在抛物线上运动，则在运动过程中手否存在圆心q与y轴相切的情况，求q的坐标
解：（1）根据题意
对称轴x=-2
那么点b的坐标是（-1，0）
s△abp比s△bpc=2比3
因为s△abp和s△bpc是不同底而等高
也就是说ap：pc=2：3
oa²+oc²=ac²
ac=3√2
oa=oc，所以角oac是45度
那么点p到y轴距离=ac×3/5×cos角oac=3√2×3/5×√2/2=9/5
点p到x轴距离=ac×2/5×sin角oac=3√2×2/5×√2/2=6/5
所以点p的坐标是（-9/5，6/5）
（2）根据题意设抛物线解析式为y=ax²+bx+3
将（-3，0）（-2，0）代入
9a-3b+3=0
4a-2b+3=0
解得
a=1/2，b=-5/2
y=1/2x²-5/2x+3
如果存在q点，那么也就是说点q的距离到y轴=1
也就是当x=1或-1的时候
x=-1，y=0
x=1，y=5
q（-1，0）或（1，5）
3、直线y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交与点B，以线段AB为直径作圆C，抛物线y=ax的平方+bx+c过A，C，O三点。 1、求点C的坐标和抛物线的解析式。2.过点B作直线与x轴交于点D，且OB的平方=OA*OD，求证DB是圆C的切线。3.抛物线上是否存在一点P，使以P,O,C,A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由。
解：如图
1、令x=0和y=0分别求出点A和B的坐标
点A（6，0），B（0，6）
圆心C的坐标为（3，3）
设抛物线的方程为y=ax²+bx
将（3，3）和（6，0）分别代入
9a+3b=3
36a+6b=0
解得
a=-1/3，b=2
抛物线的解析式为y=-1/3x²+2x
2、设点D的坐标为（x，0）
｜OB｜=6,｜OD｜=｜x｜,｜OA｜=6
根据题意
36=｜x｜×6
x=-6或6（舍去）
点D的坐标为（-6，0）
｜AD｜=12，｜AB｜=6√2，｜BD｜=6√2
｜AB｜²+｜BD｜²=｜AD｜²
所以∠ABD=90度
BD是圆C的切线
3、存在一点P
｜OA｜=6，｜OC｜=3√2，｜AC｜=3√2
｜OC｜²+｜AC｜²=｜OA｜²
所以∠OCA=90度
过点A作OC的平行线交抛物线于点P，交y轴于点E，点P即为所求
由题意可知
BD‖OC‖AP，且C为AB中点
所以点O为BE中点，点E的坐标为 （0，-6）
直线AP和直线AB垂直，所以直线AP的斜率是1
直线AP的方程为y=x-6
联立
y=x-6（1）
y=-1/3x²+2x（2）
（1）代入（2）
x-6=-1/3x²+2x
化简
x²-3x-18=0
（x-6）（x+3）=0
x=-3或x=6（舍去，此时为点A坐标）
x=-3时，y=-9
所以点P的坐标为（-3，-9）
4、已知点P是函数y=1/2x（x>0）图像上的一点，PA⊥x轴于点A，交函数Y=1/x(x>0)图像于点M ，PB⊥y轴于点B，交函数y=1/x(x>0)于点N（点MN不重合）
（1）当点P的横坐标为2时，求△PMN的面积；
（2）证明：MN‖AB；（如图7）
（3）试问：△OMN能否为直角三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由.
解：（1）点P横的坐标是2，那么纵坐标是1
点P（2，1），A（2，0），B（0，1）
将x=2代入y=1/x，y=1/2，那么点M的坐标（2，1/2）
将y=1代入y=1/x，x=1，那么点N的坐标为（1，1）
PM=1-1/2=1/2
PN=2-1=1
S△PMN=1/2×PM×PN=1/2×1/2×1=1/4
（2）
直线AB的斜率=（0-1）/（2-0）=-1/2
直线MN的斜率=（1/2-1）/（2-1）=-1/2
二者斜率相等
那么AB‖MN
（3）设点P的坐标为（2a，a）
则点M的坐标为（2a，1/2a）点N的坐标为（1/a，a）
直线AB的斜率是-1/2，∠MON明显不是直角
与直线AB垂直的直线方程是y=2x
y=2x
y=1/x
联立
x²=1/2
x=√2/2或-√2/2（舍去）
y=√2
点N的坐标就是（√2/2，√2）
点P的纵坐标就是√2，横坐标就是2√2
此时点M的坐标就是（2√2，√2/4）
此时ON垂直MN，三角形OMN是直角三角形
点P的坐标是（2√2.，√2）
5、知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=－2。
（1）求此抛物线的表达式
（2）连接AC、BC、，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E做EF//AC交与点F,连接CE,设AE的长为m，⊿CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此点E的坐标，判断此时⊿BCE的形状;若不存在，请说明理由。
解：（1）方程x²-10x+16=0
（x-2）（x-8）=0
x=2或x=8
那么OB=2，OC=8
点B的坐标为（2，0），点C（0，8）
设抛物线为y=a（x+2）²+b
代入
16a+b=0（1）
4a+b=8（2）
（1）-（2）
12a=-8
a=-2/3
b=32/3
抛物线方程为y=-2/3（x+2）²+32/3=-2/3x²-8/3x+8
（2）点A的坐标为（-6，0）关于x=-2和点B对称
点E的坐标为（m-6，0）
直线AC的斜率=8/6=4/3
那么EF的斜率=4/3
直线BC的方程为x/2+y/8=1
4x+y=8
设直线EF的方程为y=4/3x+b
将点E代入
0=4/3（m-6）+b
b=8-4/3m
直线EF的方程为y=4/3x+8-4/3m
与4x+y=8求出交点（m/4，8-m）
S△CEF=S△ABC-S△ACE-S△BFE
=1/2×8×8-1/2×m×8-1/2×（8-m）×（8-m）
=-1/2（m-8）²-4m+32
=-1/2m²+8m-32-4m+32
=-1/2m²+4m
0<m<8
（3）S=-1/2m²+4m=-1/2（m²-8m）=-1/2（m-4）²+8
此时m=4的时候S有最大值
S=8，此时点E的坐标（-2，0）
即为原来抛物线的对称轴上
△BCE是等腰三角形
OE=BE=2
OC垂直平分BE，所以△BCE是等腰三角形
6、“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图，其中线段PA表示距离水面（ 轴）高度为5m的平台（点P在 轴上）。滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点，且点B到水面的距离BE=2m，点B到y轴的距离是5m。当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离CG=3/2 m,与点B的水平距离CF=2m.
(1)求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围.
(2)求二次函数的解析式及其自变量的取值范围.
(3)小明从点A滑水面上点D处时,试求他所滑过的水平距离
解：（1）
根据题意
我们确定几个点的坐标
B（5，2），C（7，3/2）
设AB的解析式为y=k/x
将点B代入
2=k/5
k=10
AB的解析式为y=10/x
当y=5的时候，x=2
所以点A（2，5）
那么自变量下的取值范围为（2≤x≤5）
（2）设抛物线BCD的解析式为
y=a（x-5）²+2
将点C的坐标代入
那么
3/2=a×4+2
a=-1/8
y=-1/8（x-5）²+2=-1/8x²+5/4x-9/8
令y=0
-1/8x²+5/4x-9/8=0
x²-10x+9=0
（x-1）（x-9）=0
x=1或x=9
所以点D的坐标为（9，0）
自变量x的取值范围5≤x≤9
（3）水平距离=｜OD-PA｜=｜9-2｜=7
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解：1）由题意知，-b/2=1得b=-2,
设A（2-xo,0),B(xo,0) (xo>0),则xo-1=2,故xo=3,故c=(2-xo)*xo=-3,所以，y=x²-2x-3.
2）存在满足条件的点P。
由1）知，C（0，-3）M（1，-4）设P（m，n),由CM∥OM得，CM 的斜率=OM的斜率
所以-1=n/m,又n=m²-2m-3,解得m=(1+√13)/2或m=(1-√13)/2 (舍）故n=-(1+√13)/2
所以P[(1+√13)/2,-(1+√13)/2]
3)题有误。因A、B、E三点共线
设A（2-xo,0),B(xo,0) (xo>0),则xo-1=2,故xo=3,故c=(2-xo)*xo=-3,所以，y=x²-2x-3.
2）存在满足条件的点P。
由1）知，C（0，-3）M（1，-4）设P（m，n),由CM∥OM得，CM 的斜率=OM的斜率
所以-1=n/m,又n=m²-2m-3,解得m=(1+√13)/2或m=(1-√13)/2 (舍）故n=-(1+√13)/2
所以P[(1+√13)/2,-(1+√13)/2]
3)题有误。因A、B、E三点共线
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是抛物线吗，怎么3次的 ，少个加号吧
（1）b=-2,c=-3
（1）b=-2,c=-3
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我初二的，不会写/
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