Question

一道初三数学几何证明题

已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=45°,且∠ECF=45°.
当AE=BF,点E、F在线段AB上时（如图1），过点B作DB⊥AB，且BD=AE，连接CD，可证△ECF≌△FCD，易得出EF²=AE²+BF².
当E、F分别在线段AB或其延长线时，如图2、图3这两种情况时，请写出线段AE、EF、BF之间的数量关系，并任选其一给予证明

Answer 1

图2，EF²=AE²+BF².
用旋转或者轴对称的方法都能解，这是个老题目，网上应该能搜到答案

Answer 2

证明：（1）∵AB=AC，∠ECF=45°∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°∠AFC=45°+∠BCF∠ECB=45°+∠BCF．
∴∠AFC=∠ECB．
∴△ACF∽△BEC．

（2）∵△ACF∽△BEC，
∴ ，
∴AF•BE=AC•BC．
∵ ，
∴AF•BE=2S．

（3）直角三角形．
提示：方法1：将△ACE绕点C顺时针旋转90°到△BCG，使得AC与BC重合，连接FG．
可以证明△FBG是直角三角形．
方法2：将△ACE和△BCF分别以CE、CF所在直线为轴折叠，
则AC、BC的对应边正好重合与一条线段CG，连接GE、GF，则△FEG是直角三角形．
方法3：由（2）可知AF•BE=AC•BC= ．
设AE=a，BF=b，EF=c．
则 ，化简即得a2+b2=c2，
所以以线段AE、EF、FB为边的三角形是以线段EF为斜边的直角三角形．

Answer 3

过点B作DB⊥AB，此句有误，无法作答。