一、用一般迭代法求方程 x³-x²-1=0 在X=[1.4 , 1.5]内的根,要求:
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牛顿迭代法就是用x-f(x)/f'(x)这个式子来迭代,不断逼近f(x)=0的根。
f'(x)=3x^2-2x
令g(x)=x-f(x)/f'(x)=(2x^3-x^2+1)/(3x^2-2x)
因为f(x)在[1.4, 1.5]上单调,所以最多只有一个根。
所以我们可以任取区间中的一个值为初始值,例如取1.45为初始值,代进g(x)里面去:
g(1.45)≈1.46581
g(1.46581)≈1.46557
g(1.46557)≈1.46557
与上一次的差已经在指定的精确度之内了,
所以这就是答案,f(x)的根精确到小数点后第四位等于1.4656
咨询记录 · 回答于2023-12-25
一、用一般迭代法求方程 x³-x²-1=0 在X=[1.4 , 1.5]内的根,要求:
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牛顿迭代法:
* 使用公式:x = x - f(x) / f'(x) 进行迭代,不断逼近 f(x)=0 的根。
函数 f'(x) = 3x^2 - 2x
令 g(x) = x - f(x) / f'(x) = (2x^3 - x^2 + 1) / (3x^2 - 2x)
* 因为 f(x) 在 [1.4, 1.5] 上单调,所以最多只有一个根。
选择区间中的一个值作为初始值,例如取 1.45 作为初始值,代入 g(x) 中:
g(1.45) ≈ 1.46581
g(1.46581) ≈ 1.46557
g(1.46557) ≈ 1.46557
* 与上一次的差值已经在指定的精确度之内了。
所以这就是答案:f(x) 的根精确到小数点后第四位等于 1.4656
迭代法也称辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程。跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法),即一次性解决问题。迭代法又分为精确迭代和近似迭代。“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行,在每次执行这组指令(或这些步骤)时,都从变量的原值推出它的一个新值。利用迭代算法解决问题,需要做好以下三个方面的工作:
一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式
迭代关系式是指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。它是解决迭代问题的关键,通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制
在编写迭代程序时,必须考虑何时结束迭代过程。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可以分为两种情况:一种是所需的迭代次数是个确定的值,可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况,可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。对于后一种情况,需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
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