Question

二项式定理 证明等式1/(2√5) [(3+√5)^m+(3−√5)^m] 为自然数

Answer 1

问：二项式定理 证明等式1/(2√5) [(3+√5)^m+(3−√5)^m] 为自然数

答：二项式定理 证明等式1/(2√5) [(3+√5)m+(3−√5)m] 为自然数证明 1/(2√5) [(3+√5)m+(3−√5)m ]∈N ,m∈N数列的奇数项都为0问等式可以表达为另一个二项式吗?怎样证明等式?如果公式显示的格式很麻烦,可以同时提供一张公式的截图,比较容易看.原题是：1/(2√5) [(3+√5)m-(3−√5)m] 发现了 这是一个二项式定理判断整数问题(1)构造对偶式，利用二项式定理判断整数问题例1当n∈N时，(3+√7)n的整数部分是奇数，还是偶数？请证明你的结论。分析：因为(3+√7)n可以表示为一个整数与一个纯小数之和，而这个整数即为所求，要判断此整数的奇偶性，由(3+√7)联想到其共轭根式(3-√7)∈(0,1)，其和(3+√7)+(3-√7)是一个偶数，即(3+√7)的整数部分为奇数，于是，可从研究对偶式(3+√7)n与(3-√7)n的和入手。证明：首先，我们肯定(3+√7)n的整数部分为奇数。事实上，因0<(3+√7)<1(3+√7)n+(3-√7)n=2⋅(3n C_n0+7⋅3^(n-2) C_n2+72⋅3^(n-4) C_n4+…) ∆|= 2k∈N，(∆|= 表示记做) ∴ (3+√7)n=2k-(3-√7)n=(2k-1)+1-(3-√7)n即[(3+√7)n]=2k-1.([x]表示x的整数部分），因此，(3+√7)n的整数部分为奇数。等于2k就是可以被2整除的正