Question

函数求极限 lim[(1+x)^(1/x)-e]/x x→无穷

Answer 1

问：函数求极限 lim[(1+x)^(1/x)-e]/x x→无穷

答：lim x^(1/x)x→∞= lim e^[lnx^(1/x)]x→∞= lim e^[(1/x)lnx]x→∞= lim e^[1/x] = 1x→∞∴ lim (1+x)^(1/x)x→∞∴ lim (1+x)^{[1/(x+1)][(x+1)/x]}x→∞= 1^1 = 1∴ lim [(1+x)^(1/x) - e]/x = (1 - e)/ ∞ = 0x→∞楼主已经更正,按照新的极限要求,重新解答如下：∵ lim (1+x)^(1/x) = ex→0∴ lim [(1+x)^(1/x) - e]/x (0/0型)x→0= lim {[(1+x)^(1/x)][x/(1+x) - ln(1+x)]/x² - 0}/1x→0= lim e[x/(1+x) - ln(1+x)]/x²x→0= lim e[x - (1+x)ln(1+x)]/(x²+ x³) (0/0型)x→0= lim e[1 - ln(1+x) - 1]/(2x + 3x²)x→0= lim -eln(1+x)/(2x + 3x²) (0/0型)x→0= lim -e/[(1+x)(2 + 6x)]x→0= -e/2