Question

集合的笛卡尔积是否满足交换律？举例说明．

Answer 1

问：集合的笛卡尔积是否满足交换律？举例说明．

答：不满足交换律。举例：A = {1, 2}, B = {3, 4}笛卡尔积：A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}A × B ≠ B × AA × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}B × A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}

答：举例：集合A={1,2}，集合B={3,4}，A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}A×B≠B×A

问：写出群Z6的所有子群．

答：Z6的子群有：1. {e}；2. {a, e}；3. {b, e}；4. {a, b, e}；5. {c, e}；6. {a, c, e}；7. {b, c, e}；8. {a, b, c, e}；

答：群Z6的子群有：1. {0}；2. {0, 3}；3. {0, 2, 4}；4. {0, 1, 5}；5. {0, 1, 2, 3, 4, 5}；

答：亲，您好。图片是看不到呢，你可以阐述问题，我这里给你解答哦~

问：2. () 设 A={1,2,3,4} ,φ是A到自身的映射,满足 φ(1)=4 的满射共有 __ 个。A.4个 B.6个 C.24个 D.64个

答：C.24个

问：设 N 是群G的不变子群，陪集的乘法定义为_____________

答：群G中元素a和b的陪集aN和bN的乘法定义为{(x,y)∈G×G|∃n∈N，x=an，y=bn}。其中，G×G表示两个元素的有序组合。

问：设 G = U4 ，N = U2(1）证明G是N的不变子群；(2）求 G/N

答：(1) 证明G是N的不变子群由于U4是U2的超集，因此U4中的元素也是U2中的元素，所以U4是U2的不变子群。(2) 求G/NG/N = {U4/U2, U4/U2, U4/U2, U4/U2} = {e, a, b, c}

问：写出S3的所有子群，并求出其所有不变子群所做成的商群，并写出商群的阶．

答：人工智能问问题:(1) 首先要证明N是G的子群，即要证明N是G的一个非空子集且满足G的群运算封闭性、结合律、单位元存在性、逆元存在性。由于U2是四元数中模长等于1的元素，因此N={1,-1}。显然N非空。对于任意a,b∈N，有a=±1，b=±1，则ab=±1， 因此N在乘法下是封闭的。且由于四元数的乘法运算满足结合律，因此N满足结合律。对于任意a∈N，有a×1=a=1×a，因此单位元1属于N。对于任意a∈N，有a×a=1，因此a的逆元是a自身，即N中每个元素都有逆元。因此N是G的子群。 接下来证明N是G的不变子群，即对于任意g∈G，都有gN=Ng。因为N是G的子群，所以对于任意g∈G，有gN={gn|n∈N}。而因为在四元数乘法中，对于任意a,b∈G，有|ab|=|a||b|，其中|a|表示四元数a的模长，因此对任意n∈N，都有|gn|=|g||n|=1，即gn∈N。因此gN∈G/N。同理可得Ng={ng|n∈N}∈G/N。所以对于任意g∈G，都有gN=Ng，即N是G的不变子群。(2) 由于N={1,-1}是G的不变子群，因此根据陪集分解定理，G/N的元素个数等于G中元素个数除以N中元素个数，即|G/N|=|G|/|N|=16/2=8。而G/N的每个元素是一个陪集，可以用形如gN的代表元素g表示，其中 g∈G 且 gN是G/N的一个陪集。因为N={1,-1}人工智能问问题:，所以代表元素可以取 U4 中模长等于1的四个元素，即U4 中的单位四元数。因此 G/N={1N,-1N,IJN,KJN,IKN,-IKN,JN,-JN}，其中I,J,K分别表示U4中的三个虚数单位元素，表示四元数乘法单位元的含义不变。

答：S3的所有子群:1. {e}2. {e, (1 2)}3. {e, (1 3)}4. {e, (2 3)}5. {e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}6. {e, (1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1)}其中前五个都是正规子群，后一个是非正规子群。对于每个不变子群，我们可以以它为核心，求出它的商群。由于S3是一个小群，我们可以直接写出每个不变子群的商群。1. {e}: S3/e≅S3，阶为6.2. {e, (1 2)}: S3/(e, (1 2))≅S2，阶为2.3. {e, (1 3)}: S3/(e, (1 3))≅S2，阶为2.4. {e, (2 3)}: S3/(e, (2 3))≅S2，阶为2.5. {e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}: S3/{e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}≅C2×C2，阶为4.6. {e, (1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1)}: S3/{e, (1 2 3), (2 1 3), (3 1 2)}≅V4，阶为4.在这些商群中，当且仅当阶为4的商群中存在两