Question

抛去只相差常数的函数，导数相同的不同函数存在吗

Answer 1

问：抛去只相差常数的函数，导数相同的不同函数存在吗

答：亲您好，很高兴为您解答！抛去只相差常数的函数，则函数的变化率相同，即导数相同。然而，即使导数相同，两个函数也可能是完全不同的，因为它们的自变量的取值范围和解析式不同，导致它们的图像形状不同。因此，导数相同的两个函数存在，但它们的图像很可能不完全相同。

问：那你看看这个它们的导数是不是一样的，如果一样的是不是就意味着这个结果的不定积分有两个答案吗

答：亲，图片看不太清楚，方便打字好吗

问：y=-ln（1+cotx），求dyy=ln（1/1+cotx），求dy这两个函数的导函数好像是一样的，意味着这个结果的不定积分有两个答案吗

答：亲，对于第一个函数，求导得 dy/dx = -ln(1+cotx)/1 = -ln(1+cotx)，所以它的不定积分为 dy/dx = [-ln(1+cotx)]dt。对于第二个函数，求导得 dy/dx = ln(1+cotx)/1 = ln(1+cotx)，所以它的不定积分为 dy/dx = [ln(1+cotx)]dt。观察上面两个不定积分的结果，可以发现它们是一样的，所以第一个函数和第二个函数的导函数是相等的，并且它们的不定积分也是一样的。也就是说，这两个函数的积分结果是相同的，没有第二个答案。

问：老师，-ln（1+cotx）求导不是应该是csc^2x/1+cotx吗

答：亲，是的

问：第二个也是一样的，它们求导出来都是csc^2x/1+cotx，那这个答案的不定积分不就是两个不同的答案了吗

答：您的描述是正确的，-ln（1+cotx）的导数的确是 csc^2x/1+cotx。根据链式法则，对于复合函数 f(g(x))，其导数可以表示为 f'(x) = f'(g(x)) × g'(x)，对于 ln(1+cotx) 和 cotx，可以将其看作一个复合函数，其导数可以表示为 f'(ln(1+cotx)) = f'(g(x)) × g'(x)，将 ln(1+cotx) 看作 g(x)，则有 f'(ln(1+cotx)) = f'(g(x)) × g'(x) = f'(cotx) × csc^2x = csc^2x/1+cotx。因此，-ln（1+cotx）的导数确实是 csc^2x/1+cotx。

问：老师，在吗，能解答我的困惑吗，这两个不同的函数导数却相同，那么这个不定积分真有两个答案吗

答：是的，如果两个函数的导数相同，那么它们的不定积分可能存在多个答案。