Question

等价无穷小替换公式

Answer 1

等价无穷小替换公式：e^x-1  ~ x

当x趋近于0时：  

e^x-1  ~ x
ln(x+1) ~ x
sinx ~ x
arcsinx ~ x
tanx ~ x
arctanx ~ x
1-cosx ~ (x^2)/2
tanx-sinx  ~  (x^3)/2
(1+bx)^a-1 ~ abx

1、值得注意的是等价无穷小的替换一般用在乘除中，一般不用在加减运算的替换。

2、等价无穷小是无穷小的一种，也是同阶无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。 

3、求极限时，使用等价无穷小的条件：被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以，加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换。

4、称一个函数是无穷小量，一定要说明自变量的变化趋势。例如x^2-4在x→2时是无穷小量，而不能笼统说x^2-4是无穷小量。

5、两个无穷小比值极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于0的“快慢”程度。在x→0 的过程中，x^2→0 比 3x→0 “快些”，反过来，3x→0比x^2→0 “慢些”，而sin x→0与x→0“快慢相仿”。